Hur exakta värden ska jag kunna inom trigonometri? :)

I figuren noterar vi två rätvinkliga trianglar.  Den vänstra triangeln är ''en halv kvadrat'', medan den högra triangeln är ''en halv liksidig triangel''. 

Är du med på detta resonemang angående vinklar och sidlängder?

Då kan du ställa upp cosinus, sinus och tangens för de tre "standardvinklarna", som ett exakt uttryck.

Notera att $\sin 75^\circ=\sin (30^\circ+45^\circ)$. Kan du fortsätta på egen  hand?

dr_lund skrev:

I figuren noterar vi två rätvinkliga trianglar.  Den vänstra triangeln är ''en halv kvadrat'', medan den högra triangeln är ''en halv liksidig triangel''. 

Är du med på detta resonemang angående vinklar och sidlängder?

Då kan du ställa upp cosinus, sinus och tangens för de tre "standardvinklarna", som ett exakt uttryck.

Notera att $\sin 75^\circ=\sin (30^\circ+45^\circ)$. Kan du fortsätta på egen  hand?

Jassåå man bryter ner det redan där. Jag skrev om det som sin(360-285) och då blev det ju lite jobbigare. Nu förstår jag, tack för svar! Jag hade de där bilderna i bakhuvudet men förstod inte hur jag skulle applicera dem.

De vinklar vars värden du förväntas kunna utantill är de som man får fram med hjälp av de båda trianglarna "en halv kvadrat" och "en halv liksidig triangel", och så för 0^o och 90^o. Jag har använt Pythagoras sats för att beräkna den tredje sidan i dessa så många gånger att jag kommer ihåg dem som $1-1-\sqrt2$ respektive $1-2-\sqrt3$ så då kan jag fort få fram sinus- och cosinusvärdena när jag behöver dem.

Var kan jag läsa en förklaring av de där trianglarna? Jag tror jag har stött på referenser till dem tidigare i olika videogenomgånger, som något "vi gick igenom på lektionen", men jag har inga lektioner, och om de var med i förra kursen så gällde det samma där, så jag har hursom missat det (om det inte kommer senare i min bok, men jag tror inte det).

Smaragdalena, skulle du kunna visa vad det är du gör när du subtraherar trianglarnas sidor? (Eller om nån annan vill visa det/förklara det).

Det går också att använda formeln för halva vinkeln:

$\sin^2(\frac{x}{2})=\frac{1-\cos x}{2}$

$\cos 150^{\circ}=-\cos 30^{\circ}=...$

Börja med att rita en kvadrat med sidan 1. Dra en diagonal från det ena hörnet till det andra. Nu har du gjort "en halv kvadrat". Beräkna längden av diagonalen med hjälp av Pythagoras sats. Lägg märke till att en vinkel är 90^o och de båda andra andra vinklarna är 45^o. Du vet att cosinus är närliggande katet delat med hypotenusan och att sinus är motstående katet delat med hypotenusan. Ser du att både sinus och cosinus för 45^o har samma värde?

Rita en liksidig triangel med sidan 2 (för att slippa jobbiga nämnare). Rita in en bisektris till en av vinklarna. Du har nu gjort "en halv liksidig triangel" där hypotenusan har längden 2 och den korta kateten har längden 1. Använd Pythagoras sats för att beräkna längden av den långa kateten. Koncentrera dig på den spetsigate vinkeln. Du vet att cosinus är närliggande katet delat med hypotenusan och att sinus är motstående katet delat med hypotenusan. Vilka värden får du för cosinus ^30o respektive sinus för 30^o? Upprepa proceduren med den tredje vinkeln, d v s för 60^o.

Eller se här (videolektionen).

virr skrev:

Smaragdalena, skulle du kunna visa vad det är du gör när du subtraherar trianglarnas sidor? (Eller om nån annan vill visa det/förklara det).

Om du menar det Smaragdalena skrev som $1-1-\sqrt{2}$ och $1-2-\sqrt{3}$ så är menar hon inte att subtrahera sidorna, hon bara listade sidornas längd. Kanske $1;1;\sqrt{2}$ hade varit tydligare?
Hon skrev att hon hade använt Pythagoras sats för att beräkna den tredje sidan så många gånger att hon nu kan dem utantill.

Är det detta som kallas för "exakta värden" i ma4?

Ja, detta är exakta värden, inte bara i Ma4.

Men om man då ska räkna ut sin 75 grader t.ex, och vet att sin 30 gr är 1/2, och för 45 gr är 1/$\sqrt{2}$ , hur ska man då göra? Inte addera dem, för då blir svaret större än 1..

Blir det större än 1?

virr skrev:

Men om man då ska räkna ut sin 75 grader t.ex, och vet att sin 30 gr är 1/2, och för 45 gr är 1/$\sqrt{2}$ , hur ska man då göra? Inte addera dem, för då blir svaret större än 1..

Du behöver använda additionsformeln för sinus.

Aha, så

$$\begin{gathered} \sin 30 ·\cos 45 + \cos 30 ·\sin 45 = \\ \frac{1}{2}·\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}}{2}·\frac{1}{\sqrt{2}}= \\ \frac{1}{2·\sqrt{2}}+ \frac{\sqrt{3}}{2·\sqrt{2}}= \\ \frac{1+\sqrt{3}}{2·\sqrt{2}} \approx 0,97?? \end{gathered}$$

Jämför det med  sin(75) på räknaren.

Det gjorde jag såklart, men eftersom jag inte har varit så bra på bråk och förenkling osv ville jag få bekräftat om jag gjort rätt i alla led, och om det slutliga ledet ska se ut så som jag skrivit, eller om det kan förenklas ytterligare.

virr skrev:

Det gjorde jag såklart, men eftersom jag inte har varit så bra på bråk och förenkling osv ville jag få bekräftat om jag gjort rätt i alla led, och om det slutliga ledet ska se ut så som jag skrivit, eller om det kan förenklas ytterligare.

Vissa anser att det är en "förenkling" om man låter nämnaren vara minsta möjliga heltal (här 4).

Dr. G skrev:

virr skrev:

Det gjorde jag såklart, men eftersom jag inte har varit så bra på bråk och förenkling osv ville jag få bekräftat om jag gjort rätt i alla led, och om det slutliga ledet ska se ut så som jag skrivit, eller om det kan förenklas ytterligare.

Vissa anser att det är en "förenkling" om man låter nämnaren vara minsta möjliga heltal (här 4).

Men hur kan 2*roten ur 2 bli 4? Måste man ändra något i täljaren då också?

virr skrev:

Men hur kan 2*roten ur 2 bli 4? 

Nä, det blir det ju inte. Du får multiplicera bråket med √2/√2.

Aha, så $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$