Hur deriverar man rörelseenerginsformeln?

Innan jag skriver någonting vill jag bara påpeka att ordet du söker är härleda, inte derivera. Derivera betyder att man tar derivatan av något.

Jag vet inte exakt hur han gör i videon (har inte kollat ännu), men intuitivt hade jag gjort så här (i en dimension och likriktade storheter):

$\displaystyle \mathrm{d}W=F\mathrm{d}s=m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}v\mathrm{d}t=mv\mathrm{d}v\iff\int_{}^{}\mathrm{d}W=m\int_{}^{}v\mathrm{d}v$

Detta ger sedan det kända sambandet:

$\displaystyle W=\frac{mv^2}{2}$

Här betraktar vi objekt som $\mathrm{d}W$ och $\mathrm{d}v$ som (hyperreella) infinitesimaler. Dessa är algebraiska objekt med i stort sett samma egenskaper som de reella talen. Det är därför det är tillåtet att stryka $\mathrm{d}t$ mot $\mathrm{d}t$ och så vidare, fastän dessa objekt inte är algebraiska objekt i vanlig analys.

Resonemanget kan naturligtvis generaliseras till fler dimensioner med hjälp av definitionen av arbete som en skalärprodukt av en kraftvektor och en förflyttningsvektor. Då behöver vektorerna inte heller ha samma riktning.

Jag flyttade dessutom tråden från kategorin "grundskola" till kategorin "Fysik 2".

naytte skrev:

Innan jag skriver någonting vill jag bara påpeka att ordet du söker är härleda, inte derivera. Derivera betyder att man tar derivatan av något.

Jag vet inte exakt hur han gör i videon (har inte kollat ännu), men intuitivt hade jag gjort så här (i en dimension och likriktade storheter):

$\displaystyle \mathrm{d}W=F\mathrm{d}s=m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}v\mathrm{d}t=mv\mathrm{d}v\iff\int_{}^{}\mathrm{d}W=m\int_{}^{}v\mathrm{d}v$

Detta ger sedan det kända sambandet:

$\displaystyle W=\frac{mv^2}{2}$

Här betraktar vi objekt som $\mathrm{d}W$ och $\mathrm{d}v$ som (hyperreella) infinitesimaler. Dessa är algebraiska objekt med i stort sett samma egenskaper som de reella talen. Det är därför det är tillåtet att stryka $\mathrm{d}t$ mot $\mathrm{d}t$ och så vidare, fastän dessa objekt inte är algebraiska objekt i vanlig analys.

---

Resonemanget kan naturligtvis generaliseras till fler dimensioner med hjälp av definitionen av arbete som en skalärprodukt av en kraftvektor och en förflyttningsvektor. Då behöver vektorerna inte heller ha samma riktning.

---

Jag flyttade dessutom tråden från kategorin "grundskola" till kategorin "Fysik 2".

"derive" på engelska... sorry! :)

Det är ingen stor grej. Men förstår du mitt resonemang? Kan du köpa det mer än det i videon?

Tack Naytte för svaret! Det jag vill bara fråga är varför du använder arbete och dess formel för att härleda formeln för kinetisk energi… är kinetisk energi arbete? Kan du säga att båda är lika med varandra för att de har samma enhet (Joules)? Det är mer fysik koncept nu, så ursäkta mig för min okunnighet just nu :)

I andra ord, hur hänger arbete tillsammans med kinetisk energi? Vad är det för samband jag vet inte ännu, och varför är sambandet så. I det här fallet skulle jag helst vilja tycks om en intuitivt förklaring, fast matematiskt går också bra!

Tack igen för att du spenderar din tid att svara på mina frågor.

———————————————————————————

Det jag förstår matematiskt från din resonemang är att du lägger en ”differential” på båda sidorna och sedan ersätter F=ma. Sedan säger du att acceleration är derivatan av ”velocity”. Du gör en algebraisk manipulation för att få ut att W (KE?)= mv^2/2.

Kan du säga att båda är lika med varandra för att de har samma enhet (Joules)?

Nej, arbete och energi är olika saker. Poängen är att ett arbete (i rörelseriktningen) måste utföras för att ett objekt ska få en rörelseenergi. Vi antar alltså att all energi från arbetet överförs till objektet, och denna energi blir alltså rörelseenergi.

Det jag förstår matematiskt från din resonemang är att du lägger en ”differential” på båda sidorna och sedan ersätter F=ma. Sedan säger du att acceleration är derivatan av ”velocity”. Du gör en algebraisk manipulation för att få ut att W (KE?)= mv^2/2.

Det jag utnyttjar specifikt är att ett infinitesimalt arbete motsvaras av en kraft multiplicerad med en infinitesimal förflyttning $\mathrm{d}s$. Sambandet jag använder precis i början kan skrivas på ett annat sätt också (då $\mathrm{d}s$ är nollskilt):

$\displaystyle F=\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}s}$. Ett annat sätt att se detta på är att derivatan av en arbetesfunktion $W(s)$ med avseende på en förflyttning $s$ är en kraft $F$.

I slutändan manipuleras inget algebraiskt, utan jag använder integraloperatorn. Integralen av en differential är bara funktionen i sig. Så:

$\displaystyle \int \mathrm{d}W =m\int v\mathrm{d}v  \iff W = \frac{mv^2}{2}$

naytte skrev:

Kan du säga att båda är lika med varandra för att de har samma enhet (Joules)?

Nej, arbete och energi är olika saker. Poängen är att ett arbete (i rörelseriktningen) måste utföras för att ett objekt ska få en rörelseenergi. Vi antar alltså att all energi från arbetet överförs till objektet, och denna energi blir alltså rörelseenergi.

Det jag förstår matematiskt från din resonemang är att du lägger en ”differential” på båda sidorna och sedan ersätter F=ma. Sedan säger du att acceleration är derivatan av ”velocity”. Du gör en algebraisk manipulation för att få ut att W (KE?)= mv^2/2.

Det jag utnyttjar specifikt är att ett infinitesimalt arbete motsvaras av en kraft multiplicerad med en infinitesimal förflyttning $\mathrm{d}s$. Sambandet jag använder precis i början kan skrivas på ett annat sätt också (då $\mathrm{d}s$ är nollskilt):

$\displaystyle F=\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}s}$. Ett annat sätt att se detta på är att derivatan av en arbetesfunktion $W(s)$ med avseende på en förflyttning $s$ är en kraft $F$.

I slutändan manipuleras inget algebraiskt, utan jag använder integraloperatorn. Integralen av en differential är bara funktionen i sig. Så:

$\displaystyle \int \mathrm{d}W =m\int v\mathrm{d}v  \iff W = \frac{mv^2}{2}$

aah! nu förstår jag hur du får fram ekvationerna i för sig (tror jag..) . Du tar fram formeln från att förstå att integralen av kraft med respekt till sträcka ger dig arbete? Men, jag förstår inte ännu hur arbete riktigt kopplas med kinetisk energi, för du säger matematiskt att arbete = mv^2/2. Det är inte det, väl? Det är ju för kinetisk energi? 

Skulle det betyda då att mgh = mv^2/2, för att både behöver arbete för att ens ha potentiell energimängd samt rörelsemängd? Det jag sa ovanför är falskt, right? Det måste vara det, hoppas jag...

Det är inte det, väl? Det är ju för kinetisk energi? 

Rörelseenergin kommer från arbetet. Därför är dessa samma till storleken, och i ett system utan mekaniska förluster kan man därför säga att $W=E_k$.

Skulle det betyda då att mgh = mv^2/2, för att både behöver arbete för att ens ha potentiell energimängd samt rörelsemängd?

Nej.

naytte skrev:

Det är inte det, väl? Det är ju för kinetisk energi? 

Rörelseenergin kommer från arbetet. Därför är dessa samma till storleken, och i ett system utan mekaniska förluster kan man därför säga att $W=E_k$.

Skulle det betyda då att mgh = mv^2/2, för att både behöver arbete för att ens ha potentiell energimängd samt rörelsemängd?

Nej.

Så vad är då skillnaden mellan arbete som orsakar potentiell energi, och arbete som orsakar rörelseenergi? Både (arbete och energin som tillförts p.g.a arbetet) är ju samma till storleken (för att all arbete har omvandlats till "energiformen"), så kan man inte säga att W =E_P, och W = E_k?

Förlåt igen om jag ställer dumma frågor, men jag förstår inte riktigt väl.. .-.

Jag tror nu jag förstår lite mer. Snälla säg till om jag har fel.

Låt oss ta ett exempel.

Säg det tar 7 joules av arbete att trycka en bil. Då får bilen 7 joules av rörelseenergi...

Men om det tar 7 joules av arbete att också lyfta en bil, då får bilen 7 joules av lägesenergi när du stannar vid toppen.

Skulle man då kunna säga att, p.g.a samma storlek, att lägesenergi = rörelseenergi: Nej! Så klart inte.

Men detta medför då att det finns olika slags arbete? typ kinetiskt arbete och potentiellt arbete?

Vad jag uppfattar är att du säger att W = mv^2/2 är egentligen W_k?

Säg det tar 7 joules av arbete att trycka en bil. Då får bilen 7 joules av rörelseenergi...

Men om det tar 7 joules av arbete att också lyfta en bil, då får bilen 7 joules av lägesenergi när du stannar vid toppen.

Skulle man då kunna säga att, p.g.a samma storlek, att lägesenergi = rörelseenergi: Nej! Så klart inte.

Ja, precis.

Men detta medför då att det finns olika slags arbete? typ kinetiskt arbete och potentiellt arbete?

Njae, det är bara arbete i olika riktningar.

naytte skrev:

Säg det tar 7 joules av arbete att trycka en bil. Då får bilen 7 joules av rörelseenergi...

Men om det tar 7 joules av arbete att också lyfta en bil, då får bilen 7 joules av lägesenergi när du stannar vid toppen.

Skulle man då kunna säga att, p.g.a samma storlek, att lägesenergi = rörelseenergi: Nej! Så klart inte.

Ja, precis.

Men detta medför då att det finns olika slags arbete? typ kinetiskt arbete och potentiellt arbete?

Njae, det är bara arbete i olika riktningar.

Bra då! Nu förstår jag. I x-ledet så är mekaniskt arbete rörelseenergi, och i y-ledet (eller z, hur du anser det) så är det lägesenergi?

Så kan man väl se det.

Jag ville tacka dig för att du spenderade mycket tid på min fråga. Jag uppskattar det väldigt mycket. Okej, nu vet jag hur man kan få fram formeln nu. Dessutom förstår jag intuitionen bakom det. Tack!

Ingen orsak!