Hur deriverar jag?

Hej.

Du kan antingen se det som en sammansatt funktion där du kan använda kedjeregeln eller så kan du se det som en produkt av två funktioner där du kan använda produktregeln.

I ena fallet så är cos(3x) en del av derivatan av den yttre funktionen och i andra fallet är det en av faktorerna i produktregeln.

Kommer du vidare då?

Nu när du säger det kom jag fram till svaret genom produktregeln. Men hur löser jag den med kedjeregeln? Det var så jag försökte göra första gången. 

Yttre funktion cos²3x. Sedan -2sin3x*3= -6sin3x?

Hejsan266 skrev:

Nu när du säger det kom jag fram till svaret genom produktregeln. Men hur löser jag den med kedjeregeln? Det var så jag försökte göra första gången. 

Yttre funktion cos²3x. Sedan -2sin3x*3= -6sin3x?

Yttre fkn: x^2

Inre fkn: cos (3x)

Inre-inre fkn: 3x

Trinity2 skrev:

Hejsan266 skrev:

Nu när du säger det kom jag fram till svaret genom produktregeln. Men hur löser jag den med kedjeregeln? Det var så jag försökte göra första gången. 

Yttre funktion cos²3x. Sedan -2sin3x*3= -6sin3x?

Yttre fkn: x^2

Inre fkn: cos (3x)

Inre-inre fkn: 3x

Går det inte att se cos²3x som den yttre funktionen?

Hejsan266 skrev:

Trinity2 skrev:

Visa föregående citat

Hejsan266 skrev:

Nu när du säger det kom jag fram till svaret genom produktregeln. Men hur löser jag den med kedjeregeln? Det var så jag försökte göra första gången. 

Yttre funktion cos²3x. Sedan -2sin3x*3= -6sin3x?

Yttre fkn: x^2

Inre fkn: cos (3x)

Inre-inre fkn: 3x

Går det inte att se cos²3x som den yttre funktionen?

cos²(3x) är hela funktionen.

Du kan se cos²(x) som yttre och 3x som inre, eller x² som yttre och cos(3x) som inre, beroende på vad du finner enklast.

Hur löser jag uppgiften om jag ser cos²x som den yttre funktionen. Det är hur jag försökt lösa från första början. Jag fick rätt genom produktregeln och genom en yttre, inre och inerst funktion men inte genom detta. 

Derivatan av cos²(x) är 2cos(x)sin(x). Även fast vi inte skriver ut det använder vi här indirekt kedjeregeln med x² som yttre och cos(x) som inre.

Därefter multiplicerar vi med derivatan av inre funktionen, dvs 3x, som är 3.

Jag rekommenderar att du undviker att använda x till något annat än vad det verkligen står för. Annars blir det lätt väldigt förvirrat och felbenäget.

Tips: Börjarä inifrån och ut och sätt upp nya funktioner på vägen.

Typ så här:

• Sätt $u(x)=3x$. Då är derivatan av $u$ med avseende på $x$ lika med $\frac{du}{dx}=3$.
• Sätt $g(u)=\cos(u)$. Då är derivatan av $g$ med avseende på $u$ lika med $\frac{dg}{du}=\sin(u)$.
• Sätt $h(g)=g^2$. Då är derivatan av $h$ med avseende på $g$ lika med $\frac{dh}{dg}=2g$.

Då har du att $p(x) = h(g(u(x)))$ och derivatan av $p$ med avseende på $x$ blir då enligt kedjeregeln

$\frac{dp}{dx}=\frac{dh}{dg}\cdot\frac{dg}{du}\cdot\frac{du}{dx}=2g\cdot\sin(u)\cdot3=$

$=2\cos(u)\cdot\sin(u)\cdot3=$

$=2\cos(3x)\sin(3x)\cdot3=$

$=6\cos(3x)\sin(3x)$

Tillägg: 11 feb 2024 23:32

Jag skrev fel vid punkt 2.

Det ska stå att $\frac{dg}{du}=-\sin(u)$

Tack Calle_K för påpekandet.

Yngve skrev:

Jag rekommenderar att du undviker att använda x till något annat än vad det verkligen står för. Annars blir det lätt väldigt förvirrat och felbenäget.

Tips: Börjarä inifrån och ut och sätt upp nya funktioner på vägen.

Typ så här:

• Sätt $u(x)=3x$. Då är derivatan av $u$ med avseende på $x$ lika med $\frac{du}{dx}=3$.
• Sätt $g(u)=\cos(u)$. Då är derivatan av $g$ med avseende på $u$ lika med $\frac{dg}{du}=\sin(u)$.
• Sätt $h(g)=g^2$. Då är derivatan av $h$ med avseende på $g$ lika med $\frac{dh}{dg}=2g$.

Då har du att $p(x) = h(g(u(x)))$ och derivatan av $p$ med avseende på $x$ blir då enligt kedjeregeln

$\frac{dp}{dx}=\frac{dh}{dg}\cdot\frac{dg}{du}\cdot\frac{du}{dx}=2g\cdot\sin(u)\cdot3=$

$=2\cos(u)\cdot\sin(u)\cdot3=$

$=2\cos(3x)\sin(3x)\cdot3=$

$=6\cos(3x)\sin(3x)$

Mycket tydligt.

Liten korrigering bara: $\frac{d}{dx}\cos \left(x\right)=-\sin \left(x\right)$

Calle_K skrev:

Mycket tydligt.

Liten korrigering bara: $\frac{d}{dx}\cos \left(x\right)=-\sin \left(x\right)$

Tack för påpekandet, har lagt in en kommentar där.