Hur blir cos(120°-v) = sin(v+30°)?
I min mattebok är det en uppgift där det står "visa hur du gör". Det innebär att facit beskriver hur man gör. Jag läser facit, men förstår fortfarande inte.
För en vinkel gäller sin v = 0,8. Bestäm, utan att beräkna v, ett närmevärde med två decimaler till.
a) sin (v+30°)
b) cos(120°-v).
Man kan använda trigonometriska ettan för att komma fram till att cos v = ±0.6. Därför löser man a) lätt.
b) förstår jag dock inte hur den ska lösas! I facit står det cos(120°-v) = cos(180°-(v+30°)) = sin(v+30°)
Detta ger alltså samma svar som i första uppgiften. Men jag förstår inte dessa led. Jag förstår inte hur cos(120°-v) = cos(180°-(v+30°)) och jag förstår inte heller hur cos(180°-(v+30°)) = sin(v+30°). Den sistnämnda får jag till cos(180°-(v+30°)) = cos(150°-v) = sin (v-60°).
Tack så mycket på förhand!
Facits lösning ser konstig ut.
Det enklaste är väl att använda additions- och subtraktionsformlerna?
a) sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
Med a = v och b = 30 får vi
sin(v + 30) = sin(v)cos(30) + cos(v)sin(30)
b) cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)
Med a = 120 och b = v får vi
cos(120 - v) = cos(120)cos(v) + sin(120)sin(v)
Eftersom cos(a) = sin(90 - a) så får vi
cos(120) = sin(90 - 120) = sin(-30) = -sin(30)
Eftersom sin(a) = cos(90 - a) så får vi
sin(120) = cos(90 - 120) = cos(-30) = cos(30)
Alltså kan svaret på b) skrivas
cos(120)cos(v) + sin(120)sin(v) = -sin(30)cos(v) + cos(30)sin(v)
Eftersom cos(v) = +/- 0,6 så är svaren identiska.
