Hur bevisar man komplexa tal?

Det beror väl på vilken kurs och hur noga du skall vara.

Men om det är envsriabel eller något, diskret matte kanske är det bara visa det.

Visa att |Z| är exakt samma sak som abs av komjugatet och sedan är du klar. Osv.

Det Dracaena skriver om är en sak som många förstaårsstudenter på ingenjörsprogram har svårt för, enligt min erfarenhet. Detta antagligen just för att vad ett bevis faktiskt är beror väldigt mycket på kontext. 

Speciellt är det avgörande vad du får ta för givet, vilka axiom du för utgå ifrån och vilka satser du ska referera till. Det enklaste du kan göra är att hitta ett lösningsförslag på en uppgift som ber dig bevisa något. Troligtvis är det så som du skrev med viss förtydligande modifikation.

Vi har enligt definition:

$z = a+bi$

$z* = a-bi$

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

$|z*|=\sqrt{a^2+(-b)^2}=\sqrt{a^2+b^2}$

Vi får:

$|z|^2=( \sqrt{a^2+b^2})^2 = a^2+b^2$

$z\cdot z* = (a+bi)\cdot (a-bi) = a^2+b^2$

Detta ger att $|z|^2 = z\cdot z*$ och $|z|=|z*|$ vilket skulle visas.

Tillägg: 8 jul 2022 14:27

Exempelvis är det på flera universitet i Sverige (Chalmers, Linköping bl. a) inte tillåtet att använda L'hospitals regel för att räkna ut gränsvärden på tentor i envariabelanalys. Detta därför att du i viktiga undantagsfall inte kan ta för givet att regeln är lämplig.

Men den som kan bevisa att förutsättningarna för L'hospitals regel är uppfyllda, måste få lösningen godkänd, såvida inte det uttryckligen står i uppgiften t ex  "Bevisa utan hjälp av L'hospitals regel att...."

Annars skulle vi få något som strider mot vetenskap.

SaintVenant skrev:

Det Dracaena skriver om är en sak som många förstaårsstudenter på ingenjörsprogram har svårt för, enligt min erfarenhet. Detta antagligen just för att vad ett bevis faktiskt är beror väldigt mycket på kontext. 

Speciellt är det avgörande vad du får ta för givet, vilka axiom du för utgå ifrån och vilka satser du ska referera till. Det enklaste du kan göra är att hitta ett lösningsförslag på en uppgift som ber dig bevisa något. Troligtvis är det så som du skrev med viss förtydligande modifikation.

Vi har enligt definition:

$z = a+bi$

$z* = a-bi$

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

$|z*|=\sqrt{a^2+(-b)^2}=\sqrt{a^2+b^2}$

Vi får:

$|z|^2=( \sqrt{a^2+b^2})^2 = a^2+b^2$

$z\cdot z* = (a+bi)\cdot (a-bi) = a^2+b^2$

Detta ger att $|z|^2 = z\cdot z*$ och $|z|=|z*|$ vilket skulle visas.

---

Tillägg: 8 jul 2022 14:27

Exempelvis är det på flera universitet i Sverige (Chalmers, Linköping bl. a) inte tillåtet att använda L'hospitals regel för att räkna ut gränsvärden på tentor i envariabelanalys. Detta därför att du i viktiga undantagsfall inte kan ta för givet att regeln är lämplig.

Av nyfikenhet undrar jag vilka krav finns det för att använda l'hopitals regel? När kan man inte använda l'hopitals regel?

@ipsum det är endast något din examinator kan svara på. Vissa tillåter det, vissa gör inte. Oftast får man inte det dock då man förväntar sig att eleven tar nytta av SGV eller andra metoder, så som maclaurin etc.

ipsum skrev:

Av nyfikenhet undrar jag vilka krav finns det för att använda l'hopitals regel? När kan man inte använda l'hopitals regel?

Du kan läsa viss motivation av Mikael Langer på LiU här:

https://courses.mai.liu.se/GU/TATA41/faq.html#lHopital

Tomten skrev:

Men den som kan bevisa att förutsättningarna för L'hospitals regel är uppfyllda, måste få lösningen godkänd, såvida inte det uttryckligen står i uppgiften t ex  "Bevisa utan hjälp av L'hospitals regel att...."

Annars skulle vi få något som strider mot vetenskap.

Om du under en tentamen kan ödsla tid på att bevisa sådant (vilket faktiskt inte är helt lätt) är det enligt min uppfattning mycket märkligt att man läser så grundläggande kurser.

Om det samtidigt också anges på föreläsningar, på kurshemsida, i Kurs-PM etc. ser jag inte problemet som särskilt allvarligt. Där det även kan diskuteras huruvida ett tentamenstillfälle är en vetenskaplig process som bör följa strikta vetenskapliga principer.

Läs det Mikael Langer skrivit under min länk ovan och maila honom gärna om du söker mer information.

SaintVenants bevisning i inlägg #3 är helt suverän. I alla fall för en nybörjare som mig.
Möjligen kan man lägga till att $\left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2}$kommer ifrån definitionen och att $\left|\overline{z}\right|=\sqrt{a^2+{(-b)}^2)}$också gör det.
Ritar man upp ett komplext talplan och lägger in koordinaterna så ser man att det stämmer.