Hur bevisar man att derivatan av en funktion är summan av varje term enskilt deriverad?

Jag har funderat en del på detta och jag tror jag möjligtvis har kommit fram till något, men jag vet inte om det är ett bevis eller ej.

Antag att funktionen $f\left(x\right)=a\left(x\right)+b\left(x\right)$.

Då blir:

 $f\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{a(x+h)+b(x+h)-\left(a\right(x)+b(x\left)\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }(\frac{a(x+h)-a\left(x\right)}{h}+\frac{b(x+h)-b\left(x\right)}{h})=a\text{'}\left(x\right)+b\text{'}\left(x\right)$

Slutsats: $f\text{'}\left(x\right)=a\text{'}\left(x\right)+b\text{'}\left(x\right)$.

Är detta ett korrekt resonemang? Jag tror också att detta resonemanget skulle vara allmängiltigt, alltså stämma oavsett hur många termer funktionen f(x) består av. 

Antag att funktionen $g\left(x\right)=a_n\left(x\right)+a_{n-1}\left(x\right)+...+a_1\left(x\right)$. Samma resonemang hade väl varit applicerbart även här?