Hur bestämmer man en ekvation från en andragradsfunktions graf?

Välkommen till Pluggakuten! Om du ska bestämma en andragradsfunktion helt algebraiskt, måste du hitta tre punkter på grafen, sätta in dem i den allmänna formeln för en andragradsfunktion ($f(x)=ax^2+bx+c$). Om det duger att läsa av och anpassa en färdig funktion, gör såhär: 

Utgå från funktionen $f(x)=x^2$. I exempelvis a), här ser vi att vi måste flytta f(x) ett steg uppåt. Det ger oss funktionen $g(x)=x^2+1$. Nu sätter vi in några andra punkter för att se om g(x) passar ihop med grafen. Två andra punkter som kan avläsas är (1, 2) och (-1, 2). Skär g(x) båda dessa punkter? 

Om du vill flytta en andragradsfunktion i x-led, subtrahera från x-värdet, och kvadrera. Exempel: $h(x)=(x-1)^2$ är f(x) fast flyttad ett steg till höger i x-led. :)

Smutstvätt

 Tack för ditt svar! men ärligt talat så förstår jag fortfarande inte något, kan vi köra med fråga b) också? då kommer jag nog förstå bättre

Om du har en grafräknare, prova att rita först x². Sedan x²+3. Sedan x²-2. Nu är du bekant med hur sådana kurvor ser ut. Prova nu (x-2)² och (x+3)².

Efter det, kombinera: (x-1)² + 4.

Nu finns det en sak kvar man kan göra, nämligen multiplicera med en konstant. Titta på 2x². Sedan 3(x-1)². Har du fått en känsla för hur kurvorna skrivs och ser ut?

Hej Sajed.

Som Smutstvätt skrev igår så gäller det att alla andragradsfunktioner kan skrivas på formen $f(x)=ax^2+bx+c$, där $a$, $b$ och $c$ är konstanter.
Det gäller nu för dig att bestämma vilka värden $a$, $b$ och $c$ har i de olika deluppgifterna.

------------------------
För att göra det är begreppet symmetrilinje väldigt användbart.

Läs först detta avsnitt som beskriver andragradsfunktioner, andragradsekvationer, min- och maxpunkter, nollställen och symmetrilinjen.

Vertex (dvs min- eller maxpunkten) ligger alltid på symmetrilinjen och symmetrilinjen alltid ligger mitt emellan nollställena.

För att hitta nollställena kan du lösa ekvationen $f(x)=0$, dvs $ax^2+bx+c=0$.

Vi börjar med att lösa den ekvationen:

$ax^2+bx+c=0$

Dividera båda sidor med $a$:

$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$

Pq-formeln ger oss nu direkt lösningarna, dvs funktionens nollställen:

$$x=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{(\frac[b}{2a})^2-\frac{c}{a}}$$

Det $x$-värde som ligger mitt emellan dessa nollställen är $x=-\frac{b}{2a}$.

Symmetrilinjen är alltså $x=-\frac{b}{2a}$.

---------------- 

Nu är du redo att lösa uppgifterna

Jag hjälper dig med uppgift e) så kan du försöka själv på de övriga.

 Jag har markerat symmetrilinjen $x=2$ i rött, vertex $(2, 3)$ och ytterligare en punkt $(3,4)$ på grafen i blått.

Vi utgår från $f(x)=ax^2+bx+c$

Eftersom symmetrilinjen är $x=2$ så vet vi att $-\frac{b}{2a}=2$, dvs $4a=-b$, dvs $4a+b=0$

Eftersom punkten (2,3) ligger på grafen så vet vi att den punkten uppfyller sambandet $y=f(x)$, dvs $3=a\cdot2^2+b\cdot2+c$, dvs $3=4a+2b+c$.

Eftersom punkten (3,4) ligger på grafen så vet vi att den punkten uppfyller sambandet $y=f(x)$, dvs $4=a\cdot3^2+b\cdot3+c$, dvs $4=9a+3b+c$.

Vi får alltså ett ekvationsssystem med tre ekvationer:

• $4a+b=0$
• $4a+2b+c=3$
• $9a+3b+c=4$

Om vi nu subtraherar ekvation 2 från ekvation 3 så får vi

$5a+b=1$

Om vi sedan subtraherar ekvation 1 från det så får vi

$a=1$

Vi sätter in $a=1$ i ekvation 1 och får då $4+b=0$, dvs $b=-4$

Vi sätter in $a=1$ och $b=-4$ i ekvation 2 och får då  $4-8+c=3$, dvs $c=7$

Funktionen är alltså $f(x)=x^2-4x+7$