Hur beräkna denna area?
Hej allesammans!
Jag har fastnat på den här uppgiften:
Det som jag klurar över är att funktionen inte ges... Hur ska man då kunna fortsätta med att lösa uppgiften? :)
Tacksam för hjälp!
Markera först intervallet [0,3]
Area under x-axeln är negativ
Area över x-axeln är positiv
Finns det några areor som "tar ut varandra"?
Alright! Tack snälla. Då återstår det 2 /a.e/.
Hmm, något jag hakar upp mig lite på är att man tillåts spela ut positiva mot negativa areor.
Om frågan hade varit att undersöka arean mellan f(x) och y=-2, då hade man inte fått göra det och då hade arean blivit typ 8 a.e. Hur kommer det sig att man "får" göra det i detta fall?
med de två reglarna som nämndes ovanför, alltså:
Area under x-axeln (d.v.s. y=0) är negativ
Area över x-axeln (d.v.s. y=0) är positiv
ytrewq skrev:[...]
Hmm, något jag hakar upp mig lite på är att man tillåts spela ut positiva mot negativa areor.
Nej, det går inte. En area kan aldrig vara negativ, lika lite som ett avstånd kan vara mindre än 0.
Däremot kan en integrals värde mycket väl vara negativt.
Detta är fallet om funktionen som integreras har ett negativt värde i hela det aktuella intervallet, dvs att grafen till funktionen befinner sig under x-axeln.
Om frågan hade gällt att beräkna arean mellan funktionsgrafen och x-axeln så skulle svaret ha blivit 4.
Om frågan hade varit att undersöka arean mellan f(x) och y=-2, då hade man inte fått göra det och då hade arean blivit typ 8 a.e. Hur kommer det sig att man "får" göra det i detta fall?
Det stämmer. Funktionen som skulel integreras skulle du h varit f(x)-(-2), dvs f(x)+2, som är positivt i hela intervallet.
Läxhjälp skrev:
med de två reglarna som nämndes ovanför, alltså:
Area under x-axeln (d.v.s. y=0) är negativ
Area över x-axeln (d.v.s. y=0) är positiv
Nej, det här stämmer inte. En area kan aldrig vara negativ. Däremot kan en integrals värde vara negativt.
Generellt gäller att arean mellan två kurvor y = f(x) och y = g(x) I intervallet [a, b] kan beräknas som om f(x) > g(x) I hela intervallet och om g(x) > f(x) I hela intervallet.
Eftersom x-axeln kan beskrivas som g(x) = 0 så löser allt ut sig automatiskt om man använder komihågregeln "Area mellan grafer är lika med integralen av 'övre funktion' minus 'undre funktion'".
Yngve skrev:ytrewq skrev:[...]
Hmm, något jag hakar upp mig lite på är att man tillåts spela ut positiva mot negativa areor.
Nej, det går inte. En area kan aldrig vara negativ, lika lite som ett avstånd kan vara mindre än 0.
Däremot kan en integrals värde mycket väl vara negativt.
Detta är fallet om funktionen som integreras har ett negativt värde i hela det aktuella intervallet, dvs att grafen till funktionen befinner sig under x-axeln.
Om frågan hade gällt att beräkna arean mellan funktionsgrafen och x-axeln så skulle svaret ha blivit 4.
Om frågan hade varit att undersöka arean mellan f(x) och y=-2, då hade man inte fått göra det och då hade arean blivit typ 8 a.e. Hur kommer det sig att man "får" göra det i detta fall?
Det stämmer. Funktionen som skulel integreras skulle du h varit f(x)-(-2), dvs f(x)+2, som är positivt i hela intervallet.
Tack Yngve! Skönt att höra att man inte tillåts spela ut negativa mot positiva areor.
Så skillnaden är att i uppgiften så ska man ska bestämma integralens värde, inte arean. Och integraler får ha även negativa värden, till skillnad från areor. Vad man gör i uppgiften är att man endast använder sig av arearutorna som ett hjälpmedel, och eftersom frågan handlar om integralens värde så "tillåts arearutorna spela ut varandra" (även om det skaver lite att uttrycka sig så). Hoppas det låter som att jag har förstått rätt :)
Om jag får inflika med en liten tanke så verkar det finnas ett missförstånd här, som jag ser även hos andra användare ibland.
Integraler som matematiska objekt är inte areor, inte heller representerar de areor. Integraler råkar bara vara ett verktyg man kan använda för att beräkna areor, enligt analysens fundamentalsats. Hade integraler "varit" areor hade man inte kunnat få negativa värden!
ytrewq skrev:Tack Yngve! Skönt att höra att man inte tillåts spela ut negativa mot positiva areor.
Så skillnaden är att i uppgiften så ska man ska bestämma integralens värde, inte arean. Och integraler får ha även negativa värden, till skillnad från areor. Vad man gör i uppgiften är att man endast använder sig av arearutorna som ett hjälpmedel, och eftersom frågan handlar om integralens värde så "tillåts arearutorna spela ut varandra" (även om det skaver lite att uttrycka sig så). Hoppas det låter som att jag har förstått rätt :)
Ja, du har förstått det rätt.
Det är skillnad på att beräkna en integrals värde och att beräkna en area, se även nayttes svar.
Tack Yngve för respons och tack Naytte för förtydligande! Mycket bra att få rätsida på detta :)
