Hur behandlar man e^z?

Använd potenslagarna

$2=e^{\ln(2)}$

$\displaystyle 2e^{\frac{\pi i}{3}}=e^{\ln(2)}e^ {\frac{\pi i}{3}}=e^{\ln(2)+\frac{\pi i }{3}}$

Menade du istället allmänt $e^{a+bi}$ Kan du göra samma sak, fast baklänges.

$\displaystyle e^{a+bi}=e^{a}(\cos(b)+i\sin(b))$

Jroth skrev:

Använd potenslagarna

$2=e^{\ln(2)}$

$\displaystyle 2e^{\frac{\pi i}{3}}=e^{\ln(2)}e^ {\frac{\pi i}{3}}=e^{\ln(2)+\frac{\pi i }{3}}$

Ja men jag tänker att z=$2e^{\frac{\mathrm{\pi i}}{3}}$vilket då gör att e^z = $e^2{e^{\frac{\mathrm{\pi i}}{3}}}^{}$

Ja, då är

$\displaystyle e^{z}=e^{\sqrt{3}+i}=e^{\sqrt{3}}e^{i}\,=e^{\sqrt{3}}\left(\cos(1)+i\sin(1)\right)$

Edit: Jaha, nu bytte du $z$ igen :)

Om $z=2e^{\frac{\pi i}{3}}=1+\sqrt{3}i$ så är

$e^{2e^{\frac{\pi i }{3}}}=e(\cos(\sqrt{3})+i\sin(\sqrt{3}))$

Du har alltså använt två z i dina poster

$z=\sqrt{3}+i$ och $z=2e^{\frac{\pi i}{3}}=1+\sqrt{3}i$

QWERT skrev:

Jroth skrev:

Använd potenslagarna

$2=e^{\ln(2)}$

$\displaystyle 2e^{\frac{\pi i}{3}}=e^{\ln(2)}e^ {\frac{\pi i}{3}}=e^{\ln(2)+\frac{\pi i }{3}}$

Ja men jag tänker att z=$2e^{\frac{\mathrm{\pi i}}{3}}$vilket då gör att e^z = $e^2{e^{\frac{\mathrm{\pi i}}{3}}}^{}$

"På formen e^z" betyder bara att det ska skrivas som e upphöjt till nånting. Det är inte samma z som du har från början. Ifall det står z på båda ställena i uppgiften så är det dumt, inte förbjudet, men vilseledande.

Laguna skrev:

QWERT skrev:

Visa föregående citat

Jroth skrev:

Använd potenslagarna

$2=e^{\ln(2)}$

$\displaystyle 2e^{\frac{\pi i}{3}}=e^{\ln(2)}e^ {\frac{\pi i}{3}}=e^{\ln(2)+\frac{\pi i }{3}}$

Ja men jag tänker att z=$2e^{\frac{\mathrm{\pi i}}{3}}$vilket då gör att e^z = $e^2{e^{\frac{\mathrm{\pi i}}{3}}}^{}$

"På formen e^z" betyder bara att det ska skrivas som e upphöjt till nånting. Det är inte samma z som du har från början. Ifall det står z på båda ställena i uppgiften så är det dumt, inte förbjudet, men vilseledande.

Jaha, så det som menas här är alltså antagligen att man bara ska skriva allt som e^någonting? Dvs de vill att man skriver om det man har som en potens till e?

Du kanske kan posta en bild på uppgiften?

Jroth skrev:

Du kanske kan posta en bild på uppgiften?

4339 är uppgiften.

Då är svaret

$\displaystyle \sqrt{3}+i=2e^{i\frac{\pi}{6}}$

$\displaystyle \sqrt{3}+i=e^{\ln(2)+i\frac{\pi}{6}}$

Notera att vinkeln är $\frac{\pi}{6}$

Jroth skrev:

Då är svaret

$\displaystyle \sqrt{3}+i=2e^{i\frac{\pi}{6}}$

$\displaystyle \sqrt{3}+i=e^{\ln(2)+i\frac{\pi}{6}}$

Notera att vinkeln är $\frac{\pi}{6}$

Ja men hur blir e^z det? Borde e^z inte motsvara e^$2e^{\frac{\mathrm{\pi i}}{3}}$

Nej, 2 = e^ln2, det  är inte samma sak som e².

Talet $\sqrt{3}+i$ har argumentet (vinkeln) $\frac{\pi}{6}$

Talet $\sqrt{3}+i$ har absolutbeloppet 2.

Det betyder att vi kan skriva talet $\sqrt{3}+i$ som $2e^{i\frac{\pi}{6}}$

När de efterfrågar talet $\sqrt{3}+i$ på formen $re^{iy}$ menar de att du ska identifiera två helt andra tal $y$ och $r$ så att $\sqrt{3}+i=re^{iy}$, i vårt fall alltså $r=2$ och $y=\frac{\pi}{6}$

När de efterfrågar talet $\sqrt{3}+i$ på formen $e^{z}=e^{a+bi}$ menar de att du ska identifiera ett helt annat tal $z=a+bi$ så att $\sqrt{3}+i=e^z$.

$z=\ln(2)+i\frac{\pi}{6}$

Jroth skrev:

Talet $\sqrt{3}+i$ har argumentet (vinkeln) $\frac{\pi}{6}$

Talet $\sqrt{3}+i$ har absolutbeloppet 2.

Det betyder att vi kan skriva talet $\sqrt{3}+i$ som $2e^{i\frac{\pi}{6}}$

När de efterfrågar talet $\sqrt{3}+i$ på formen $re^{iy}$ menar de att du ska identifiera två helt andra tal $y$ och $r$ så att $\sqrt{3}+i=re^{iy}$, i vårt fall alltså $r=2$ och $y=\frac{\pi}{6}$

När de efterfrågar talet $\sqrt{3}+i$ på formen $e^{z}=e^{a+bi}$ menar de att du ska identifiera ett helt annat tal $z=a+bi$ så att $\sqrt{3}+i=e^z$.

$z=\ln(2)+i\frac{\pi}{6}$

Så e^z kan man alltså säga är en förlängning på $r{e}^{iv}$där man dessutom skriver upp r i upphöjningen? Vilket man genom att ta r=$e^{\ln r}$

QWERT skrev:

Jroth skrev:

Talet $\sqrt{3}+i$ har argumentet (vinkeln) $\frac{\pi}{6}$

Talet $\sqrt{3}+i$ har absolutbeloppet 2.

Det betyder att vi kan skriva talet $\sqrt{3}+i$ som $2e^{i\frac{\pi}{6}}$

När de efterfrågar talet $\sqrt{3}+i$ på formen $re^{iy}$ menar de att du ska identifiera två helt andra tal $y$ och $r$ så att $\sqrt{3}+i=re^{iy}$, i vårt fall alltså $r=2$ och $y=\frac{\pi}{6}$

När de efterfrågar talet $\sqrt{3}+i$ på formen $e^{z}=e^{a+bi}$ menar de att du ska identifiera ett helt annat tal $z=a+bi$ så att $\sqrt{3}+i=e^z$.

$z=\ln(2)+i\frac{\pi}{6}$

Så e^z kan man alltså säga är en förlängning på $r{e}^{iv}$där man dessutom skriver upp r i upphöjningen? Vilket man genom att ta r=$e^{\ln r}$

Eller tänker jag fel här?

QWERT skrev:

Jroth skrev:

Du kanske kan posta en bild på uppgiften?

4339 är uppgiften.

Då var det i alla fall ingen förvirring med z i uppgiften. 

Laguna skrev:

QWERT skrev:

Visa föregående citat

Jroth skrev:

Du kanske kan posta en bild på uppgiften?

4339 är uppgiften.

Då var det i alla fall ingen förvirring med z i uppgiften. 

Ja men tänker jag rätt kring talet e^z generellt? Att man kan se det som en förlängning av re^iv där man sedan multiplicerar in   ln r i exponenten?

QWERT skrev:

Laguna skrev:

Visa föregående citat

QWERT skrev:

Jroth skrev:

Du kanske kan posta en bild på uppgiften?

4339 är uppgiften.

Då var det i alla fall ingen förvirring med z i uppgiften. 

Ja men tänker jag rätt kring talet e^z generellt? Att man kan se det som en förlängning av re^iv där man sedan multiplicerar in   ln r i exponenten?

Det kan man kanske säga, men jag tror poängen med uppgiften var att testa om du kan det här med logaritmer, även i samband med komplexa tal.