Hur avgör man om f är begränsad ?

För att visa att en fkn f är begränsad behöver man inte ta fram sup och inf. Det räcker visa att det finns ett B sådant att |f(x)|<=B för alla x i D_f.

Tomten skrev:

För att visa att en fkn f är begränsad behöver man inte ta fram sup och inf. Det räcker visa att det finns ett B sådant att |f(x)|<=B för alla x i D_f.

Vilken teori säger att man ska visa att det finns ett B sådant att |f(x)| <=B för alla x i D_f? Jag hittar inget om detta i häftet. Det står liksom såhär. Varför kan man inte utnyttja motsägelsebevis metoden för att visa att den funktionen är begränsad om man antar att den inte är begränsad?

Du skriver att $\arccos$ har värdemängden $[0,\pi]$ per definition. Det betyder ju åtminstone att $0$ är en nedre gräns och $\pi$ är en övre gräns för vilka värden som någonsin kan komma på tal för $f(x)$, dvs $|f(x)|\leq \pi$.

Jag tror också du behöver gå tillbaka några steg.  För att $\sqrt{\ln(x)}$ ska vara definierad måste $x\geq 1$ eftersom vi inte får dra roten ur negativa tal i reell analys. Du måste göra om $D_f$

D4NIEL skrev:

Du skriver att $\arccos$ har värdemängden $[0,\pi]$ per definition. Det betyder ju åtminstone att $0$ är en nedre gräns och $\pi$ är en övre gräns för vilka värden som någonsin kan komma på tal för $f(x)$, dvs $|f(x)|\leq \pi$.

Jag tror också du behöver gå tillbaka några steg.  För att $\sqrt{\ln(x)}$ ska vara definierad måste $x\geq 1$ eftersom vi inte får dra roten ur negativa tal i reell analys. Du måste göra om $D_f$

Ja juste. Då blir ju D_f=[1,inf) 

Mm, men du har ju fortfarande en arccos utanför som kräver ett argument i intervallet $[-1,1]$. Så du får kombinera!

D4NIEL skrev:

Mm, men du har ju fortfarande en arccos utanför som kräver ett argument i intervallet $[-1,1]$. Så du får kombinera!

Om man tar snittet av bägges definitionsmängder dvs [-1,1] och [1,inf) så får man väl [1,inf).  Det är det jag kan komma på då ln(x) inte kan ta in negativa tal som argument.

Om man tar snittet av bägges definitionsmängder dvs [-1,1] och [1,inf) så får man väl [1,inf). Det är det jag kan komma på då ln(x) inte kan ta in negativa tal som argument.

Nej, det stämmer inte med [-1,1].

Smaragdalena skrev:

Om man tar snittet av bägges definitionsmängder dvs [-1,1] och [1,inf) så får man väl [1,inf). Det är det jag kan komma på då ln(x) inte kan ta in negativa tal som argument.

Nej, det stämmer inte med [-1,1].

Nej jag vet. Därför svarade jag [1,inf) istället. Notera att [-1,1] är def för arccos(x) så den kan man inte bara ignorera men hur man kombinerar ihop bägge två definitionsmängder vet jag inte.

Ett tal som är större än 1 tillhör inte mängden [-1,1] och uppfyller alltså inte kraven. Snittet mellan [-1,1] och [1,inf) innehåller inte några tal som är större än 1.

Det är möjligt att du menar något annat än det du har skrivit, det är inte lätt att gissa i så fall.

Smaragdalena skrev:

Ett tal som är större än 1 tillhör inte mängden [-1,1] och uppfyller alltså inte kraven. Snittet mellan [-1,1] och [1,inf) innehåller inte några tal som är större än 1.

Det är möjligt att du menar något annat än det du har skrivit, det är inte lätt att gissa i så fall.

Ah okej ja asså jag försöker bara skapa en kombination av definitionsmängden för arccos och definitionsmängden för ln(x) som jag och Daniel pratade om.  Så [1,inf) kan inte vara en definitionsmängd till 1a) arccos(ln(sqrt(x)) för att något tal i det intervallet [1,inf)  inte tillhör mängden [-1,1]?  Isåfall skulle snittet kunna vara bara (0,1]  men 0 tillhör inte [1,inf)

Om du har två funktioner F och G. Hur definierar man definitionsmängden för den sammansatta funktionen F$\circ$G?

Jo, $D_{ F\circ G}=\left\{x\in D_G: G\left(x\right)\in D_F\right\}$. Dvs definitionsmängden för den sammansatta funktionen är de element x i definitionsmängden för G vars bilder G(x) hamnar i definitionsmängden för F. Vilket känns naturligt, om man tänker på det.

Om vi nu som exempel tar G(x) = lnx, med definitionsmängd x > 0. Och F(x) = $\sqrt{x}$med definitionsmängd x $\ge$ 0. För vilka x > 0 gäller det att lnx $\ge$ 0? Jo, detta är uppfyllt om x $\ge$ 1.

Så definitionsmängden för den sammansatta funktionen $\sqrt{lnx}$ är x $\ge$ 1. 

Sedan kan du gå vidare och fråga vad definitionsmängden för den sammansatta funktionen arccos($\sqrt{lnx}$) blir. Definitionsmängden för arccos är [-1, 1 ]. För vilka x$\ge$1 ligger $\sqrt{\ln x}$ i intervallet [-1, 1]?

PATENTERAMERA skrev:

Om du har två funktioner F och G. Hur definierar man definitionsmängden för den sammansatta funktionen F$\circ$G?

Jo, $D_{ F\circ G}=\left\{x\in D_G: G\left(x\right)\in D_F\right\}$. Dvs definitionsmängden för den sammansatta funktionen är de element x i definitionsmängden för G vars bilder G(x) hamnar i definitionsmängden för F. Vilket känns naturligt, om man tänker på det.

Om vi nu som exempel tar G(x) = lnx, med definitionsmängd x > 0. Och F(x) = $\sqrt{x}$med definitionsmängd x $\ge$ 0. För vilka x > 0 gäller det att lnx $\ge$ 0? Jo, detta är uppfyllt om x $\ge$ 1.

Så definitionsmängden för den sammansatta funktionen $\sqrt{lnx}$ är x $\ge$ 1. 

Sedan kan du gå vidare och fråga vad definitionsmängden för den sammansatta funktionen arccos($\sqrt{lnx}$) blir. Definitionsmängden för arccos är [-1, 1 ]. För vilka x$\ge$1 ligger $\sqrt{\ln x}$ i intervallet [-1, 1]?

sqrt(ln(x))>=0 ger ju 

ln(x)>=0

x>=1

sqrt(ln(x)>=1

x>=e

Så D_f=[1,e]

Svaret ser rätt, men det är lite svårt att följa vägen fram till svaret.

PATENTERAMERA skrev:

Svaret ser rätt, men det är lite svårt att följa vägen fram till svaret.

Gällande begränsad så skrev jag följande: