Hur avgör man kontinuiteten hos en flervariabelsfunktion?

Jag har fastnat på en uppgift som handlar om kontinuiteten för en flervariabel funktion, och jag skulle behöva lite hjälp för att förstå hur man avgör vid vilka punkter om funktionen är kontinuerlig. Uppgiften är följande:

Jag förstår att för att kontrollera kontinuiteten vid en punkt måste vi verifiera om gränsvärdet för funktionen när $(x, y)$ närmar sig den punkten är lika med funktionsvärdet vid den punkten.

Men hur utvärderar man gränsvärdet när vi har två olika variabler? Jag läste att man undersöker olika vägar, men jag vet inte vad det säger att bråket har funktionsvärdet $\frac{x^3+y^4}{x^2+y^2}$ om $(x, y) \neq (0, 0)$ , till skillnad ifrån att $f(x, y) = 0$ om $(x, y) = (0, 0)$ .

Det är på samma sätt som för en envariabelsfunktion, men vi måste undersöka samtliga vägar. För en envariabelsfunktion finns det 2 vägar (från vänster och från höger). För en 2-variabelsfunktion kan man tro att det finns 4 vägar (från vänster och höger för respektive variabel). Men detta stämmer ej då det finns oänligt många vägar att röra sig in på (hur många icke-parallella linjer finns det i R²? Oändligt många.)

Det vi kan göra är att skriva om funktionen på polär form, därmed sammanfattas samtliga vägar genom att helt enkelt låta r->0 och vinkeln vara godtycklig. Det är värdet på vinkeln som avgör vilken väg vi rör oss på.

Tillägg: 21 jun 2024 12:34

Detta som jag beskrev i andra stycket ovan är om vi vill undersöka gränsvärdet i origo. Om vi vill undersöka någon annan punkt måste vi låta r och vinkeln ta motsvarande värden.

Calle_K skrev:
Det vi kan göra är att skriva om funktionen på polär form, därmed sammanfattas samtliga vägar genom att helt enkelt låta r->0 och vinkeln vara godtycklig. Det är värdet på vinkeln som avgör vilken väg vi rör oss på.

Hade det då blivit följande?

Vi låter $x=r\cos \theta ,\ y=r\sin \theta$

$\frac{x^{3}+y^{4}}{x^{2}+y^{2}} \equiv \frac{\left( r\cos \theta \right)^{3} +\left( r\sin \theta \right)^{4}}{\left( r\cos \theta \right)^{2} +\left( r\sin \theta \right)^{2}} =\frac{r^{3}\cos^{3} \theta +r^{4}\sin^{4} \theta}{r^{2}\cos^{2} \theta +r^{2}\sin^{2} \theta}$

$\lim_{r\rightarrow 0} \left( \frac{r^{3}\cos^{3} \theta +r^{4}\sin^{4} \theta}{r^{2}\cos^{2} \theta +r^{2}\sin^{2} \theta} \right) =\lim_{r\rightarrow 0} \left( \frac{r^{2}\left( r\cos^{3} \theta +r^{2}\sin^{4} \theta \right)}{r^{2}\left( 1 \right)} \right) =\lim_{r\rightarrow 0} \left( r\cos^{3} \theta +r^{2}\sin^{4} \theta \right) = 0$

Så om detta blir 0, vad kan man slå fast?

Det jag annars har fått fram, utan instängningssatsen, är att vi får gränsvärdet 0 när vi låter x = 0, y = 0, och y = x. Sen i respektive fall låta den intresserade variabeln röra sig mot 0.

Eftersom att detta gränsvärde är 0 för samtliga theta, vet vi att gränsvärdet är noll för samtliga vägar vi kan ta mot origo. Därmed har vi kontinuitet i punkten.

Tillägg: 21 jun 2024 14:39

Viktigt att notera att cos(theta) och sin(theta) är begränsade till [-1,1]. Annars skulle inte det återstående gränsvärdet nödvändigtvis vara sant.

Calle_K skrev:
Eftersom att detta gränsvärde är 0 för samtliga theta, vet vi att gränsvärdet är noll för samtliga vägar vi kan ta mot origo. Därmed har vi kontinuitet i punkten.

Tillägg: 21 jun 2024 14:39

Viktigt att notera att cos(theta) och sin(theta) är begränsade till [-1,1]. Annars skulle inte det återstående gränsvärdet nödvändigtvis vara sant.

Jag har förstått hur man löser uppgiften nu med hjälp av omvandling till polära koordinater, men hur skulle man kunna lösa uppgiften utan omvandlingen till polära koordinater? Jag har förstått att man kan använda sig av olika vägar för att närma sig origo, men jag är fortfarande osäker på hur detta fungerar i praktiken utan polära koordinater.

1. Om vi inte omvandlar till polära koordinater, hur väljer vi då lämpliga vägar för att utvärdera gränsvärdet?

2. Ska vi alltid kontrollera gränsvärdet längs några specifika vägar först och sedan använda instängningssatsen? Eller kan vi använda instängningssatsen direkt?

3. Hur bestämmer vi gränserna i vår olikhet för funktionen när vi tillämpar instängningssatsen?

4. Vad händer om rationella funktionen är större än både täljaren och nämnaren? Om vi finner att den rationella funktionen $\frac{x^3 + y^4}{x^2 + y^2}$ är större än både täljaren och nämnaren, vad innebär det då i kontexten av instängningssatsen? Hur påverkar detta vår slutsats om gränsvärdet?

I det fallet vi undersöker kontinuitet i origo vill vi låta x och y gå mot 0. Problemet är att dessa kan gå mot 0 på oändligt många sätt.

Det du kan göra är att låta distansen till origo, dvs sqrt(x²+y²) gå mot 0, men detta är väsentligen samma som att omvandla till polära koordinater och låta r gå mot 0.

Du kan bevisa att en funktion INTE är kontinuerlig genom att hitta två vägar som ger olika gränsvärden i origo, men du behövr den polära formen för att bevisa kontinuitet.

(x³+y⁴)/(x²+y²)|=|x•(x²/(x²+y²))+y²•(y²/(x²+y²))<=|x•1 | +|y•1 |—>0 när (x,y)—>(0,0)

Svara

Visa senaste svar