Hur avgör jag om följande integraler konvergerar eller divergerar?

Kolla den här tråden och se om du hittar svar där.

Yngve skrev:

Kolla den här tråden och se om du hittar svar där.

Tack vare den tråden förstod jag hur man löste b-uppgiften, tack!

Polletten har dessvärre inte trillat ner kring a-uppgiften dock. Jag är med på att sinx / x = 1 då x --> 0, det går lätt att se genom att derivera täljare och nämnare. Men var kommer c ifrån och varför vet man att sin x / x är större än just 1/2? Har det något med Cauchys integraltest att göra?

PolarenPer skrev:

Men var kommer c ifrån och varför vet man att sin x / x är större än just 1/2?

Då x går mot 0 så går $\frac{\sin(x)}{x}$ mot 1.

Eftersom 1 > 1/2 så kommer $\frac{\sin(x)}{x}$ att vara större än 1/2 då x är tillräckligt litet.

(Att vi väljer 1/2 som jämförelse är godtyckligt, vi kan välja vilket tal som helst mellan 0 och 1.)

Det betyder att integranden $\frac{\sin(x)}{x^2}=\frac{\sin(x)}{x}\cdot\frac{1}{x}$ kommer att vara större än $\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{2x}$ då x är tillräckligt litet.

Det betyder i sin tur att $\int_{0}^{1}\frac{\sin(x)}{x^2}\operatorname dx$ > $\int_{0}^{1}\frac{1}{2x}\operatorname dx$.

Eftersom den sistnämnda integralen är divergent så måste även den förstnämnda integralen att vara divergent.