Hur är denna kvadratiska formen indefinit? (Matematik/Universitet)

Undersök egenvärdena! Detta uttryck borde ge matrisen $[\begin{matrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & - 1 & 4 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix}]$ , som har egenvärdena (-1) och 1, och är därmed indefinit. :)

EDIT: Även om det är helt korrekt, och dessutom en mycket trevlig metod, att undersöka egenvärdena, måste den matris vars egenvärden ska undersökas (alltså Q i $v^{T} \cdot Q \cdot v$ ) vara symmetrisk. Den ovanstånde matrisen ska därför ändras till $[\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 2 & - 1 \end{matrix}]$ . Hela den kvadratiska formen blir då $[\begin{matrix} h_{1} & h_{2} & h_{3} \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 2 & - 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} h_{1} \\ h_{2} \\ h_{3} \end{matrix}]$ .

Jag beklagar dammet som uppkommit då min trötta hjärna tyvärr delvis lagt denna kunskap på en hylla i källaren för långtidsförvaring. :(

Smutstvätt skrev:
Undersök egenvärdena! Detta uttryck borde ge matrisen $[\begin{matrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & - 1 & 4 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix}]$ , som har egenvärdena (-1) och 1, och är därmed indefinit. :)

Förstår inte din matris där, är raderna h1 h2 h3? Detta är från flervariabelanalys, ska gå att se på annat sätt att denna är indefinit. (har inte kommit till matrislösningar än)

Det är ofta lätt att visa att den är indefinit genom att bara stoppa in lite olika tal och se att uttrycket kan bli både positivt och negativt. Testa tex att sätta alla h utom ett till 0. Får du samma tecken för alla h?

Det går också att kvadratkomplettera en kvadratisk form i tre variabler (även om matrismetoden som Smutstvätt visar ofta kan bli enklare när det rör sig om kvadratiska former som beror av fler variabler än två...).

Vi börjar t.ex. med att kvadratkomplettera alla termer som innehåller $h_1$ :

$h_1^2+2h_1h_2-h_2^2-h_3^2+4h_2h_3=(h_1+h_2)^2-2h_2^2-h_3^2+4h_2h_3$

Sedan kan vi kvadratkomplettera samtliga termer som innehåller $h_2$ :

$=(h_1+h_2)^2-2(h_2^2-2h_2h_3+\frac{1}{2}h_3^2)=(h_1+h_2)^2-2((h_2-h_3)^2-h_3^2+\frac{1}{2}h_3^2)$

$=(h_1+h_2)^2-2((h_2-h_3)^2-\frac{1}{2}h_3^2)=(h_1+h_2)^2-2(h_2-h_3)^2+h_3^2$

Eftersom vi har både positiva och negativa koefficienter framför våra kvadrater kommer detta uttryck kunna anta både positiva och negativa värden (t.ex. ger $h_1=-1$ , $h_2=1$ , $h_3=0$ negativt värde och $h_1=1$ , $h_2=h_3=0$ positivt värde) och därmed är uttrycket indefinit.

Här är det ganska lätt att helt enkelt hitta olika kombinationer som ger olika tecken. T ex (1,0,0) ger värdet 1. (0,1,0) ger -1.

AlvinB skrev:
Det går också att kvadratkomplettera en kvadratisk form i tre variabler (även om matrismetoden som Smutstvätt visar ofta kan bli enklare när det rör sig om kvadratiska former som beror av fler variabler än två...).
Vi börjar t.ex. med att kvadratkomplettera alla termer som innehåller $h_1$ :
$h_1^2+2h_1h_2-h_2^2-h_3^2+4h_2h_3=(h_1+h_2)^2-2h_2^2-h_3^2+4h_2h_3$
Sedan kan vi kvadratkomplettera samtliga termer som innehåller $h_2$ :
$=(h_1+h_2)^2-2(h_2^2-2h_2h_3+\frac{1}{2}h_3^2)=(h_1+h_2)^2-2((h_2-h_3)^2-h_3^2+\frac{1}{2}h_3^2)$
$=(h_1+h_2)^2-2((h_2-h_3)^2-\frac{1}{2}h_3^2)=(h_1+h_2)^2-2(h_2-h_3)^2+h_3^2$
Eftersom vi har både positiva och negativa koefficienter framför våra kvadrater kommer detta uttryck kunna anta både positiva och negativa värden (t.ex. ger $h_1=-1$ , $h_2=1$ , $h_3=0$ negativt värde och $h_1=1$ , $h_2=h_3=0$ positivt värde) och därmed är uttrycket indefinit.

Hur går du från -1/2h3^2 till +h3^2? Borde det inte stanna vid -1/2?

Kovac skrev:
AlvinB skrev:
[...]
Hur går du från -1/2h3^2 till +h3^2? Borde det inte stanna vid -1/2?

Jag multiplicerar bara in -2:an framför parentesen.

AlvinB skrev:
Kovac skrev:
AlvinB skrev:
[...]
Hur går du från -1/2h3^2 till +h3^2? Borde det inte stanna vid -1/2?
Jag multiplicerar bara in -2:an framför parentesen.

då är jag med. Stämmer denna kvadratkomplettering?

a^2+2b^2+2c^2+2ab-2ac+2bc

kv.kompl --> (a+(b-c))^2 - (b-c)^2 + 2((b+c)^2) - 2bc

Hej,

Den kvadratiska formen $Q(h_1,h_2,h_3)$ är indefinit om dess värdemängd innehåller både positiva och negativa tal.

Det enklaste sättet att visa att din kvadratiska form är indefinit är att göra som Parveln föreslagit; ge exempel på $(h_1,h_2,h_3)$ som ger positiva Q-värden och negativa Q-värden.
Det mest komplicerade sättet är att undersöka egenvärden hos den kvadratiska formens associerade matris.
Ett komplicerat sätt är att kvadratkomplettera den kvadratiska formen.

Albiki skrev:
Hej,

Så om man alltid lyckas hitta några h som ger olika värden så är den indefinit? Och positivt definit om oavsett vilka värden man tar blir svaret alltid >0 och tvärtom för negativt definit? Hur blir det med positivt semidefinit med den metoden då?

Kovac skrev:
Albiki skrev:
Hej,

Så om man alltid lyckas hitta några h som ger olika värden så är den indefinit? Och positivt definit om oavsett vilka värden man tar blir svaret alltid >0 och tvärtom för negativt definit? Hur blir det med positivt semidefinit med den metoden då?

För positivt definit måste du visa att $Q(h_1,h_2,h_3) > 0$ för alla tänkbara $(h_1,h_2,h_3)$ ; detta är svårt.
För positivt semidefinit måste du visa att $Q(h_1,h_2,h_3)\geq 0$ för alla tänkbara $(h_1,h_2,h_3)$ ; även detta är svårt.

För att visa -definit eller -semidefinit är det enklast att kvadratkomplettera.

Albiki skrev:
Kovac skrev:
Albiki skrev:
Hej,

Så om man alltid lyckas hitta några h som ger olika värden så är den indefinit? Och positivt definit om oavsett vilka värden man tar blir svaret alltid >0 och tvärtom för negativt definit? Hur blir det med positivt semidefinit med den metoden då?
För positivt definit måste du visa att $Q(h_1,h_2,h_3) > 0$ för alla tänkbara $(h_1,h_2,h_3)$ ; detta är svårt.
För positivt semidefinit måste du visa att $Q(h_1,h_2,h_3)\geq 0$ för alla tänkbara $(h_1,h_2,h_3)$ ; även detta är svårt.
För att visa -definit eller -semidefinit är det enklast att kvadratkomplettera.

Tack. Jag hittade denna sidan (https://www.ludu.co/course/flervarre/stationara-punkter/comments) som nämner att man kan använda AC-B^2 för att avgöra punkternas karaktär där A=f''xx, B=f''xy och C=f''yy. Kan man använda denna istället för att hålla på med kv.komplettering? Dvs helt byta ut det mot denna metod?