Hur A och B påverkar om funktion har minimi-, maximi- eller terraspunkter
Hej,
Frågan lyder: I funktionen f(x) = sin(ax) + bx är a och b reella tal och båda är skiljda från noll. Undersök hur värdet på dem påverkar om funktionen har minimi-, maximi- eller terraspunkter.
Jag vet att om f''(x)<0 då är det en maximipunkt; om f''(x)>0 då är det en minimipunkt; om f''(x)=0 då är det en terraspunkt.
Problemet är att jag inte vet hur jag ska ta reda på detta eftersom det antigen slutar med att jag har x-värdet i bissfunktion som gör det svårt att undersöka (för x kan vara vilket värde som helst) eller så slutar det med att jag har arccos i min bissfunktion som gör det svårt att bestämma om den blir negativ eller positiv.
f'(x)=a*cos(ax)+b; f'(x)=0 när x=arccos(-b/a)/a
f''(x)=-a^2 * sin(ax).... Jag kan inte undersöka detta fall eftersom det beror på vad x är i detta fall, men jag kan ersätta x med det där uppe.
f''(x)=-a^2 * sin(arccos(-b/a))... Nu vet jag inte om arccos kommer bli positiv eller negativ för det beror på vad kvoten blir och därför vet jag inte hur jag ska fortsätta.
Hoppas att någon kan hjälpa mig!
Edit: Jag satte original funktionen i Desmos och såg att:
Om b<0 då är det max- och minimipunkt när -b<a<b, allt annat är terraspunkt
Om b>0 då är det max- och minimipunkt när b<a<-b, allt annat är terraspunkt
Problemet är att jag inte vet hur jag ska bevisa detta algebraisk.
Den där arccos(-b/a), finns den alltid?
Laguna skrev:Den där arccos(-b/a), finns den alltid?
Den borde alltid finnas eftersom jag ersatte x med arccos(-b/a)/a.
Jag kolla på nätet och såg att man kan ersätta sin(arccos(-b/a)) med ±sqrt(1-(b/a)^2) så man får att f''(x)=±a^2 * sqrt(1-(b/a)^2). Nu kan man se att så a≠±b så får vi en max- eller mittpunkt, och om a=±b då har vi en terraspunkt. Saken är att man kan få roten ur ett negativt tal och då vet jag inte hur man ska undersöka om det är minimi-, maximi- eller terraspunkter.
arccos(2), t.ex. finns den?
Laguna skrev:arccos(2), t.ex. finns den?
Jaha, nej det kan det inte vara. Förstår vad du försöker komma fram till... Arccos ger oss ±värden och sinus ger oss ett värde skillt från noll så länge -1<-b/a<1, vilket betyder att vi får max- och minpunkter inom det intervallet. Allt annat är terraspunkter.
Tack för det tipset! Nu är frågan hur man ska definiera gränser på detta. T.ex:
Om b>0 då är det max- och minimipunkt när b<a<-b, allt annat är terraspunkt
Om b<0 då är det max- och minimipunkt när -b<a<b, allt annat är terraspunkt
Borde jag skriva: Max- och minimipunkter då , allt annat är terraspunkter? Eller finns det ett bättre sätt att skriva det på?
Det verkar som om du vill säga att funktionen får max-och minimipunkter om |b| < |a|, i övriga fall har funktionen terrasspunkter. Då undrar jag: Vad gäller om |a| och |b| är lika?
Smaragdalena skrev:Det verkar som om du vill säga att funktionen får max-och minimipunkter om |b| < |a|, i övriga fall har funktionen terrasspunkter. Då undrar jag: Vad gäller om |a| och |b| är lika?
Precis det kan funka, tack! När |a| och |b| är lika då blir det terraspunkt eftersom kvoten b/a blir antigen 1 eller -1. Arccos 1 eller -1 gör i sin tur att cossin blir 0 vilket gör att f''(x)=0 (betyder terraspunkt).
chrissolo skrev:Hoppas att någon kan hjälpa mig!
Edit: Jag satte original funktionen i Desmos och såg att:
Om b<0 då är det max- och minimipunkt när -b<a<b, allt annat är terraspunkt
Om b>0 då är det max- och minimipunkt när b<a<-b, allt annat är terraspunkt
Problemet är att jag inte vet hur jag ska bevisa detta algebraisk.
Bra! Du har missat att inse ett enkelt faktum. Du är det på spåret när du tänker på arccos och vad den säger oss. Låt oss låta bli att ta arccos på båda sidor och istället kolla direkt på förstaderivatan.
Vi vet att sin och cos aldrig ger värden mindre eller större än -1 och 1, och följdaktligen att a*sin eller a*cos inte ger mindre eller större än -a och a. Se på derivatan, f'(x)=a*cos(ax)+b. Det finns två termer och den andra termen är konstant. Om b=+999 och a=3, tror du att derivatan någonsin kan bli negativ?
