Hur kan x^0 bli 1? (Matematik/Matte 1/Aritmetik)

Anonym89 skrev:
Om man har ett tal i basen och sedan har 0 som exponent hur kan det då bli 1? X upphöjt 0 gånger bör ju bli 0, alltså om du har någonting och gångar det med 0 bör det bli 0 eller ev. bara samma summa som från början. Alltså att 5^0 bör bli 0 eller 5 och inte 1?

Kan någon förklara hur det kan komma sig att det blir 1? i kursmaterialet ges ingen förklaring till detta utan det bara konstateras att så är fallet utan att det förklaras närmare. Det logiska bör ju vara att det inte blir 1 i alla fall.

Ja det kan tyckas konstigt till en början.

Svaret är tråkigt - Vi har valt att definiera uttrycket $a^0$ till att vara lika med 1, helt enkelt eftersom det är praktiskt.

Då fungerar nämligen potenslagen $\frac{a^b}{a^c}=a^{b-c}$ som förväntat även då $b=c$ .

Exempel:

Uttrycket $\frac{2^3}{2^3}=1$ eftersom täljaren och nämnaren är lika stora.

Men enligt potenslagen gäller $\frac{2^3}{2^3}=2^{3-3}=2^0$ .

Om detta sista uttryck nu skulle vara lika med 2 (eller 0) så får vi en motsägelse.

Det har mest att göra med att potenslagarna skall fungera.

Du känner förmodligen till potenslagen:

$a^{x+y}=a^x\cdot a^y$

Om vi sätter $y=0$ får vi då:

$a^{x+0}=a^x\cdot a^0$

Till vänster ser vi ganska tydligt att vi får $a^x$ :

$a^x=a^x\cdot a^0$

Denna likhet gäller endast om $a^0=1$ så att $a^x=a^x$ . Skulle $a^0=0$ får vi istället $a^x=0$ , vilket är orimligt.

Yngve skrev:
Anonym89 skrev:
Om man har ett tal i basen och sedan har 0 som exponent hur kan det då bli 1? X upphöjt 0 gånger bör ju bli 0, alltså om du har någonting och gångar det med 0 bör det bli 0 eller ev. bara samma summa som från början. Alltså att 5^0 bör bli 0 eller 5 och inte 1?

Kan någon förklara hur det kan komma sig att det blir 1? i kursmaterialet ges ingen förklaring till detta utan det bara konstateras att så är fallet utan att det förklaras närmare. Det logiska bör ju vara att det inte blir 1 i alla fall.
Ja det kan tyckas konstigt till en början.
Svaret är tråkigt - Vi har valt att definiera uttrycket $a^0$ till att vara lika med 1, helt enkelt eftersom det är praktiskt.
Då fungerar nämligen potenslagen $\frac{a^b}{a^c}=a^{b-c}$ som förväntat även då $b=c$ .
Exempel:
Uttrycket $\frac{2^3}{2^3}=1$ eftersom täljaren och nämnaren är lika stora.
Men enligt potenslagen gäller $\frac{2^3}{2^3}=2^{3-3}=2^0$ .
Om detta sista uttryck nu skulle vara lika med 2 (eller 0) så får vi en motsägelse.

Så du menar att 2^3/2^3 inte är 1? 2^3 är ju lika med 8 och 8/8 är ju 1, då bör ju 2^3/2^3 också bli 1. Oavsett om exponenterna i uttrycket ovan blir 0 genom minus så blir ju 2/2 ändå 1. Så om både exponenten och basen är samma för både täljare och nämnare så bör ju svaret alltid bli 1 eller tänker jag fel?

Anonym89 skrev:

Så du menar att 2^3/2^3 inte är 1? 2^3 är ju lika med 8 och 8/8 är ju 1, då bör ju 2^3/2^3 också bli 1. Oavsett om exponenterna i uttrycket ovan blir 0 genom minus så blir ju 2/2 ändå 1. Så om både exponenten och basen är samma för både täljare och nämnare så bör ju svaret alltid bli 1 eller tänker jag fel?

Jo jag menar att 2^3/2^3 = 1. Därom är vi överens.

------------

Men du skrev att 5^0 inte borde vara lika med 1 utan istället 0 (eller 5).

Jag visade att det i så fall antingen skulle leda till en motsägelse eller till att potenslagen inte gäller.

Hängde du med på det resonemanget?

Därför har man valt att definiera $a^0=1$ så att vi kan fortsätta att använda potenslagen och att vi slipper motsägelsen $0=1$ (eller $5=1$ ).

Jo, $\frac{2^3}{2^3}$ ÄR lika med 1, och om vi vill att potenslagarna skall fungera så MÅSTE 2^3-3=2⁰ ha värdet 1, och alltså har man bestämt sig för att x⁰=1.

Ni har skrivit ett tal i basen , noll (0) är också ett tal Men om (O^o) =? Jag vet att (inf)⁰är okänd

Yngve skrev:
Anonym89 skrev:
Så du menar att 2^3/2^3 inte är 1? 2^3 är ju lika med 8 och 8/8 är ju 1, då bör ju 2^3/2^3 också bli 1. Oavsett om exponenterna i uttrycket ovan blir 0 genom minus så blir ju 2/2 ändå 1. Så om både exponenten och basen är samma för både täljare och nämnare så bör ju svaret alltid bli 1 eller tänker jag fel?
Jo jag menar att 2^3/2^3 = 1. Därom är vi överens.
------------
Men du skrev att 5^0 inte borde vara lika med 1 utan istället 0 (eller 5).
Jag visade att det i så fall antingen skulle leda till en motsägelse eller till att potenslagen inte gäller.
Hängde du med på det resonemanget?
Därför har man valt att definiera $a^0=1$ så att vi kan fortsätta att använda potenslagen och att vi slipper motsägelsen $0=1$ (eller $5=1$ ).

Jo jag förstår. Men det mest logiska hade ju då varit om X^0=X där X=2 eller någon annan valfri siffra. Alltså att det som höjs upp till 0 bara hade blivit kvar som sig själv. Då hade det ju fungerat med potenslagen osv. samt att det hade blivit mera logiskt. Eller tänker jag fel?

Matematikerna är inte överens om ifall 0⁰=1, om det är odifinierat eller möjligen något annat.

Jo jag förstår. Men det mest logiska hade ju då varit om X^0=X där X=2 eller någon annan valfri siffra. Alltså att det som höjs upp till 0 bara hade blivit kvar som sig själv. Då hade det ju fungerat med potenslagen osv. samt att det hade blivit mera logiskt. Eller tänker jag fel?

Ja, du tänker fel. x¹=x, då kan ju inte x⁰ också vara lika med x, eller hur? Du är väl med på att x/x=1 för alla värden på x?

Smaragdalena skrev:
Matematikerna är inte överens om ifall 0⁰=1, om det är odifinierat eller möjligen något annat.

Om man ska följa potenslagen så bör det ju bli 1. Men ingenting dividerat med ingenting blir ju ingenting, alltså 0 och därmed bör ju 0^0 vara 0 om man inte följe potenslagen. Fast huruvida det verkligen är så som jag anser det vara är en annan sak.

Anonym89 skrev:
Yngve skrev:
Anonym89 skrev:
Så du menar att 2^3/2^3 inte är 1? 2^3 är ju lika med 8 och 8/8 är ju 1, då bör ju 2^3/2^3 också bli 1. Oavsett om exponenterna i uttrycket ovan blir 0 genom minus så blir ju 2/2 ändå 1. Så om både exponenten och basen är samma för både täljare och nämnare så bör ju svaret alltid bli 1 eller tänker jag fel?
Jo jag menar att 2^3/2^3 = 1. Därom är vi överens.
------------
Men du skrev att 5^0 inte borde vara lika med 1 utan istället 0 (eller 5).
Jag visade att det i så fall antingen skulle leda till en motsägelse eller till att potenslagen inte gäller.
Hängde du med på det resonemanget?
Därför har man valt att definiera $a^0=1$ så att vi kan fortsätta att använda potenslagen och att vi slipper motsägelsen $0=1$ (eller $5=1$ ).
Jo jag förstår. Men det mest logiska hade ju då varit om X^0=X där X=2 eller någon annan valfri siffra. Alltså att det som höjs upp till 0 bara hade blivit kvar som sig själv. Då hade det ju fungerat med potenslagen osv. samt att det hade blivit mera logiskt. Eller tänker jag fel?

Titta på t.ex. 3:

3² = 3*3.
3³ = 3*3*3.

Man får "nästa" potens genom att multiplicera med 3. Då borde man få förra potensen genom att dela med 3:

3² = 3³ / 3 = 3*3*3/3 = 3*3. Stämmer.
3¹ = 3² / 3 = 3*3/3 = 3. Kul, 3¹ = 3. Det sa vi inget om tidigare, och "3 multiplicerat med sig själv 1 gång" låter konstigt, men det stämmer med övningen att multiplicera och dela.
3⁰ = 3¹ / 3 = 3/3 = 1. "3 multiplicerat med sig själv ingen gång" låter ännu konstigare, men det stämmer återigen bra med multiplikation och division.

Vi kan gå vidare till 3^-1.
3^-1 = 30 / 3 = 1/3.

Allt stämmer.

Smaragdalena skrev:
Jo jag förstår. Men det mest logiska hade ju då varit om X^0=X där X=2 eller någon annan valfri siffra. Alltså att det som höjs upp till 0 bara hade blivit kvar som sig själv. Då hade det ju fungerat med potenslagen osv. samt att det hade blivit mera logiskt. Eller tänker jag fel?
Ja, du tänker fel. x¹=x, då kan ju inte x⁰ också vara lika med x, eller hur? Du är väl med på att x/x=1 för alla värden på x?

Ja x/x är ju alltid 1 oavsett värde på x. Men om x^0=0 är något som matematiker har hittat på och bestämt att så ska det vara så kan man ju lik väl bestämma att x^0 likaväl kan vara lika med x, detta trots att x^1 också är lika med x. Potenslagen hade ju fungerat oavsett.

Anonym89 skrev:

Jo jag förstår. Men det mest logiska hade ju då varit om X^0=X där X=2 eller någon annan valfri siffra. Alltså att det som höjs upp till 0 bara hade blivit kvar som sig själv. Då hade det ju fungerat med potenslagen osv. samt att det hade blivit mera logiskt. Eller tänker jag fel?

Ja du tänker fel.

Motivering 1

Är du med på att $\frac{a^b}{a^b}=1$ ?
Är du med på att $\frac{a^b}{a^b}=a^{b-b}=a^0$
Är du med på att ovanstående innebär att $a^0=1$ ?

Motivering 2

Är du med på att $a^1=a$ ?
Är du med på att $a^0\cdot a^1=a^{0+1}=a^1=a$ ?
Är du med på att om $a^0=a$ så skulle det innebära att $a^0\cdot a^1=a\cdot a=a^2$ ?
Är du med på att ovanstående skulle innebära att $a=a^2$ ?
Är du med på att det som står vid punkt 4 i allmänhet inte gäller ?

Potenslagen hade ju fungerat oavsett.

Hur skulle potenslagen $\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}$ fungera om a=b, om inte x⁰=1?

Yngve skrev:
Anonym89 skrev:
Jo jag förstår. Men det mest logiska hade ju då varit om X^0=X där X=2 eller någon annan valfri siffra. Alltså att det som höjs upp till 0 bara hade blivit kvar som sig själv. Då hade det ju fungerat med potenslagen osv. samt att det hade blivit mera logiskt. Eller tänker jag fel?
Ja du tänker fel.
Motivering 2
Är du med på att $a^1=a$ ?
Är du med på att $a^0\cdot a^1=a^{0+1}=a^1=a$ ?
Är du med på att om $a^0=a$ så skulle det innebära att $a^0\cdot a^1=a\cdot a=a^2$ ?
Är du med på att ovanstående skulle innebära att $a=a^2$ ?
Är du med på att det som står vid punkt 4 i allmänhet inte gäller ?

Punkt 2 och 3 säger ju emot varandra. a^0*a^1 kan ju inte både vara a^1 och a^2 på samma gång, någon av dessa måste vara falska eller fel.

Anonym89 skrev:
Punkt 2 och 3 säger ju emot varandra. a^0*a^1 kan ju inte både vara a^1 och a^2 på samma gång, någon av dessa måste vara falska eller fel.

Exakt så. Om både 2 och 3 stämmer så leder det till en motsägelse. Det kan vi inte ha, vilket betyder att någon av dessa måste vara fel.

Är du med på att punkt 2 är rätt, dvs att $a^0\cdot a^1=a^{0+1}=a^1=a$ ?

Smaragdalena skrev:
Potenslagen hade ju fungerat oavsett.
Hur skulle potenslagen $\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}$ fungera om a=b, om inte x⁰=1?

Fast i det fallet så är det ju x^0/x^0, alltså x/x och då spelar det ju ingen roll om x^0=1. Exponenterna kan man ju lika väl utesluta då dem ändå inte har något syfte eftersom svaret ändå blir det samma utan dem.

Yngve skrev:
Anonym89 skrev:
Yngve skrev:
Ja du tänker fel.
[...]
Motivering 2
Är du med på att $a^1=a$ ?
Är du med på att $a^0\cdot a^1=a^{0+1}=a^1=a$ ?
Är du med på att om $a^0=a$ så skulle det innebära att $a^0\cdot a^1=a\cdot a=a^2$ ?
Är du med på att ovanstående skulle innebära att $a=a^2$ ?
Är du med på att det som står vid punkt 4 i allmänhet inte gäller ?
Punkt 2 och 3 säger ju emot varandra. a^0*a^1 kan ju inte både vara a^1 och a^2 på samma gång, någon av dessa måste vara falska eller fel.
Exakt så. Nägon av dessa måste vara fel.
Är du med på att punkt 2 är rätt, dvs att $a^0\cdot a^1=a^{0+1}=a^1=a$ ?

Fast a^0 är ju 1, då bör ju a^0 * a^1 = a^1+1 = a^2, typ så om det ska fungera enligt lagen och du måste ha fel.
Alltså punkt 3 bör vara det rätta, eller är jag helt ute och cyklar?

Anonym89 skrev:
Fast a^0 är ju 1, då bör ju a^0 * a^1 = a^1+1 = a^2, typ så om det ska fungera enligt lagen och du måste ha fel.
Alltså punkt 3 bör vara det rätta, eller är jag helt ute och cyklar?

Ja du är ute och cyklar.

Du skriver först att $a^0=1$ , vilket stämmer.

Om du då ersätter $a^0$ med $1$ i produkten $a^0\cdot a^1$ så blir det ju $a^0\cdot a^1=1\cdot a^1=a^1=a$ , eller hur?

Men du skriver istället att $a^0\cdot a^1=a^{1+1}$ . Det stämmer inte. Det skulle ju innebära att 0 = 1 (om vi vill att potenslagen $a^b\cdot a^c=a^{b+c}$ ska gälla).

-----------

Men du har inte svarat på min fråga:

Håller du med om att punkt 2 stämmer, dvs att $a^0\cdot a^1=a^{0+1}=a^1=a$ ?

Yngve skrev:
Anonym89 skrev:
Fast a^0 är ju 1, då bör ju a^0 * a^1 = a^1+1 = a^2, typ så om det ska fungera enligt lagen och du måste ha fel, eller är jag helt ute och cyklar?
Ja du är ute och cyklar.
Du skriver först att $a^0=1$ , vilket stämmer.
Om du då ersätter $a^0$ med $1$ i produkten $a^0\cdot a^1$ så blir det ju $a^0\cdot a^1=1\cdot a^1=a^1=a$ , eller hur?
Men du skriver istället att $a^0\cdot a^1=a^{1+1}$ . Det stämmer inte.

Ok, fel av mig.

Anonym89 skrev:
Smaragdalena skrev:
Potenslagen hade ju fungerat oavsett.
Hur skulle potenslagen $\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}$ fungera om a=b, om inte x⁰=1?
Fast i det fallet så är det ju x^0/x^0, alltså x/x och då spelar det ju ingen roll om x^0=1. Exponenterna kan man ju lika väl utesluta då dem ändå inte har något syfte eftersom svaret ändå blir det samma utan dem.

Nej, det handlar inte om x⁰/x^0. Välj exempelvis att a=b=5. Då har du x⁵/x⁵ i vänsterledet, och det är du väl med på att det har värdet 1? I högerledet har du x^5-5 = x⁰ så x⁰ måste ha värdet 1 om potenslagen skall gälla.

Anonym89 skrev:

Ok, fel av mig.

Inget problem. Alla fastnar i felaktiga tankebanor ibland.

Men betyder det att du nu förstår att $a^0=1$ och, framför allt, varför det är så?

Ni har skrivit ett tal i basen , noll (0) är också ett tal Men om 0⁰. Blir inte 1. Jag vet att (Inf)⁰^. är okänd

RAWANSHAD skrev:
Ni har skrivit ett tal i basen , noll (0) är också ett tal Men om 0⁰. Blir inte 1. Jag vet att (Inf)⁰^. är okänd

Du har redan fått svar på denna fundering.

RAWANSHAD skrev:
Ni har skrivit ett tal i basen , noll (0) är också ett tal Men om 0⁰. Blir inte 1. Jag vet att (Inf)⁰^. är okänd

Jag har redan koomenterat den invändningen här. Du behöver inte upprepa dig.