Hookes lag och matematik

Vi känner inte till $f(t)$ eller $g(t)$ men vi vet att $mf^{\prime \prime}(t)+kf(t)=0$ om det skulle dyka upp någonstans i räkningarna. Samma sak gäller $g(t)$. Det är det man menar när man säger att $f$ och $g$ uppfyller (är lösningar till) differentialekvationen.

Ansätt  $h(t)=Af(t)+Bg(t)$

Vad blir $h^{\prime\prime}\left(t\right)$?

Ställ upp uttrycket $mh^{''}\left(t\right)+kh\left(t\right)$, kan du visa att det är noll (dvs att $h(t)$ uppfyller differentialekvationen) genom att utnyttja vad du vet om $f$ och $g$?

h''(t) = 0 

mh''(t) + kh(t) = 0

m* 0 + k(Af(t) + Bg(t)) = 0

k = 0 eller Af(t) + Bg(t) = 0

Eftersom k står för fjäderkonstanten är den troligtvis inte 0. Då innebär det att Af(t) + Bg(t) = 0

Är jag på rätt spår?

Det verkar som att du förutsätter det du ska visa. Tänk så här istället; om vi deriverar funktionen $h(t)=Af(t)+Bg(t)$ två gånger med avseende på t får vi

$\frac{d}{dt}\left(h(t)\right)=Af^\prime(t)+ Bg^\prime(t)$

$\frac{d^2}{dt^2}\left(h(t)\right)=Af^{\prime\prime}(t)+ Bg^{\prime\prime}(t)$

Frågan är nu om vi kan visa att

$mh^{\prime \prime}(t)+kh(t)=0$

Vi sätter in $h^{\prime \prime}(t)$ i ekvationen och testar! Ledtråd, gruppera termerna och utnyttja att du vet att $mf^{\prime \prime}+kf=0$ osv.

m(Af''(t) + Bg''(t)) + k(Af(t) + Bg(t)) = 0 

Jag vet inte hur jag ska fortsätta härifrån. 

Du sa att jag ska utnyttja mf''+kf=0. Ska jag då ta reda på vad f'' är från det som står ovan och sedan sätta in det i denna ekvation mf''+kf=0 ?

du har fått uttrycket m(Af''(t) + Bg''(t)) + k(Af(t) + Bg(t))

Det kan du skriva om som

$A(mf''(t)+kf(t))+B(mg''(t)+kg(t))$

Men eftersom f och g uppfyller differentialevkationen vet du att

$mf''(t)+kf(t)=0$ samt $mg''(t)+kg(t)=0$

Alltså måste uttrycket vara noll, ty $A\cdot 0+B\cdot 0=0$

Sålunda har du visat att $h(t)$ uppfyller differentialekvationen om $f$ och $g$ gör det.

Okk, Så jag bryter ut A och B. Det som finns i parentesen är lika med noll då mf''+kf=0 och mg''+kg=0. 

Jag förstår nu varför du sa att jag borde ordna om och utnyttja mf''+kf=0. 

Tack för hjälpen!