Homologisk algebra: nollor i exakta följder

Definition. En exakt följd (i kategorin* av vektorrum över en kropp $k$) är en följd av vektorrum och linjära avbildningar

$\cdots\xrightarrow{f_{i+2}}A_{i+1}\xrightarrow{f_{i+1}}A_i\xrightarrow{f_i} A_{i-1}\xrightarrow{f_{i-1}}\cdots$

sådan att $\mathrm{im}(f_{i+1}:A_{i+1}\to A_i)=\ker(f_i:A_i\to A_{i-1})$ för alla $i\in\mathbb{Z}$.

* Man kan lika gärna jobba i kategorin av moduler över någon ring $R$ (eller mer generellt: i vilken så kallad abelsk kategori som helst), men första gången man lär sig detta är det nog säkrast att hålla sig till vektorrum där saker och ting blir lite mindre krångliga.

Definitionen av en exakt följd är väldigt kraftfull, på så vis att om man känner till några av vektorrummen och de linjära avbildningarna som dyker upp i följden, så kan man ofta luska ut en hel del om de andra objekten och avbildningarna också med lite algebraiskt "detektivarbete". Detta är en vanlig teknik inom bland annat algebraisk topologi (så om du vill göra en topologiker glad är det ett hett tips att visa att olika vektorrum som hen är intresserad av är relaterade genom någon slags exakt följd, t.ex. som i den så kallade Mayer-Vietoris-följden).

En av de mest basic ledtrådarna att hålla utkik efter när man utövar sådant här algebraiskt detektivarbete utifrån en exakt följd är om det triviala vektorrummet $0=\{\mathbf{0}\}$ (som bara består av en nollvektor) dyker upp någonstans i följden. Precis som du är inne på kan man då dra väldigt konkreta slutsatser om närliggande avbildningar och vektorrum.

Observation 0: För varje vektorrum $V$ över $k$ finns det en unik linjär avbildning $V\to 0$, nämligen $\mathbf{v}\mapsto \mathbf{0}$ (det finns inget annat än nollvektorn att mappa saker på), samt en unik linjär avbildning  $0\rightarrow V$, nämligen $\mathbf{0}\mapsto \mathbf{0}$ (varför är detta den enda möjligheten?).

En konsekvens av detta är att man aldrig behöver skriva ut något på pilar som representerar linjära avbildningar ut från, eller in mot, vektorrummet $0$; det är underförstått att man menar den konstanta noll-avbildningen.

Observation 1: Om vi har en exakt följd på formen

$\cdots\longrightarrow A\xrightarrow{f} B\longrightarrow 0\longrightarrow\cdots\,,$

så betyder det att $\mathrm{im}(f:A\to B)=\ker(B\to 0)$. Eftersom $\ker(B\to 0)=B$, så innebär detta att $\mathrm{im}(f:A\to B)=B$, dvs. avbildningen $f$ är surjektiv!

Observation 2: Om vi har en exakt följd på formen

   $\cdots\longrightarrow 0\longrightarrow A\xrightarrow{f} B\longrightarrow\cdots\,,$

så betyder det att $\mathrm{im}(0\to A)=\ker(f: A\to B)$. Men $\mathrm{im}(0\to A)=\{\mathbf{0}\}$, så detta måste innebära att $\ker(f: A\to B)=\{\mathbf{0}\}$ vilket i sin tur är ekvivalent med att den linjära avbildningen $f$ är injektiv (varför?).

Nu tycker jag det är dags för dig att göra lite egna observationer!

Övningsuppgift 1: Anta att vi har en exakt följd på formen

   $\cdots\longrightarrow 0\longrightarrow A\xrightarrow{f} B\longrightarrow 0\longrightarrow\cdots\,.$

Vad kan vi då säga om avbildningen $f:A\to B$?

Övningsuppgift 2: Anta att vi har en exakt följd på formen

   $\cdots\longrightarrow 0\longrightarrow A\longrightarrow 0\longrightarrow\cdots\,.$

Vad kan vi då säga om vektorrummet $A$?

En fråga jag vill fråga med en gång är att dessa följer visst inte alls är begränsade till vektorrum och linjära avbildningar? men det går inte att blanda olika strukturer?

Qetsiyah skrev:

En fråga jag vill fråga med en gång är att dessa följer visst inte alls är begränsade till vektorrum och linjära avbildningar? men det går inte att blanda olika strukturer?

Alla objekt och morfier i följden måste komma från en och samma kategori! Så typiskt sett är allt vektorrum över en och samma kropp $k$ (eller moduler över en och samma ring $R$).

För att kortfattat svara på din huvudsakliga frågor:

Qetsiyah skrev:

Vad betyder nollorna?

Nollorna står för det triviala vektorrummet $0=\{\mathbf{0}\}$ (som bara består av en nollvektor).

Kan en nolla förekomma i mitten?

Ja! Men det betyder att avbildningen två steg innan ($f$ i exemplet nedan) är surjektiv, och att avbildningen två steg efteråt ($g$ i exemplet nedan) är injektiv:

   $\cdots\longrightarrow A\xrightarrow{f}B\rightarrow 0\rightarrow C\xrightarrow{g}D\longrightarrow\cdots\,.$

Uppgift 1: det blir en ihopslagning av de två observationerna du skrev: f ska vara bijektiv, så f är en isomorfism?

Uppgift 2: enligt din observation 0 så är bilden av första avb 0, och det ska samtidigt vara kärnan för andra avb. Om kärnan av andra linjära avb är 0 betyder det att den är injektiv, och en injektion på vektorrummet 0 kan bara vara från 0, så A=0.

Qetsiyah skrev:

Uppgift 1: det blir en ihopslagning av de två observationerna du skrev: f ska vara bijektiv, så f är en isomorfism?

Helt rätt!

Uppgift 2: enligt din observation 0 så är bilden av första avb 0, och det ska samtidigt vara kärnan för andra avb. Om kärnan av andra linjära avb är 0 betyder det att den är injektiv, och en injektion på vektorrummet 0 kan bara vara från 0, så A=0.

Också helt rätt! ^_^

Ett alternativt och aningen kortare argument är att bara konstatera att $\mathrm{im}(0\to A)=\{\mathbf{0}\}$ och att $\ker(A\to 0)=A$, vilket ihop med exaktheten ger $A=\{\mathbf{0}\}$.

Om du vill träna mer på det här med exakta följder, så skulle ett bra nästa steg kunna vara att titta närmare på så kallade korta exakta följder, dvs. exakta följder på formen

   $0\to A\xrightarrow{f} B\xrightarrow{g} C\to 0\,.$

Som jag lite vagt nämnde i den här tråden ger en sådan exakt följd en del värdefull information om $B$, förutsatt att man förstår $A$, $C$, $f$ och $g$. Om man jobbar med vektorrum kan man dra detta väldigt långt, och dra slutsatsen att $B\cong A\oplus C$.

Sats. Om det existerar en kort exakt följd $0\to A\xrightarrow{f} B\xrightarrow{g} C\to 0$ av vektorrum, så gäller det att $B\cong A\oplus C$.

Anmärkning: Satsen ovan gäller i allmänhet inte när man jobbar med moduler över en godtycklig ring! Att analysera korta exakta följder över ringar som inte är kroppar är en viktig och spännande del av grundläggande homologisk algebra, och kräver lite algebraisk finess.

Kan du kanske ge ett bevis?

Det finns många tänkbara strategier, men det som detta verkligen kokar ner till (och som gör vektorrum så speciella jämfört med generella moduler) är att vi har tillgång till baser, och följande väldigt användbara resultat.

Den linjära algebrans fundamentalsats. Varje vektorrum $V$ har en bas, och varje linjärt oberoende delmängd av $V$ kan utvidgas till en bas för $V$.

Du har säkert sett någon variant av detta i någon LinAlg-kurs, åtminstone för ändligt-dimensionella vektorrum, men det gäller även för oändligt-dimensionella vektorrum (om man antar urvalsaxiomet). En viktig följdsats som kan komma till användning är denna:

Korollarium. Låt $M$ vara ett delrum av ett vektorrum $V$. Då gäller att $V\cong M\oplus V/M$.

Du kan även ha nytta av detta:

Noethers första isomorfisats. Varje linjär avbildning $\varphi\colon V\to W$ inducerar en isomorfi $\bar{\varphi}\colon V/\ker(\varphi)\to\mathrm{im}(\varphi)$ med $\bar{\varphi}([v])=\varphi(v)$.

Jag är osäker på hur svårt detta blir för dig, men vi kan ge fler ledtrådar om det behövs! Eller så får det här ligga till sig ett tag tills du har hunnit lära dig lite mer linjär/abstrakt algebra! (En bra början är kanske att repetera eller kolla upp definitionerna av direkta summor och kvotrum, samt bevisen för korollariet och isomorfisatsen ovan, så att du kommer in i tänket.)

Låt $\text{dim}A=n$ och $\alpha=\{\alpha_i\}_{i=1}^{n}$ vara en bas för $A$. $f$ mappar $\alpha$ på en (linjärt oberoende) mängd vektorer $\beta=\{\beta_i\}_{i=1}^{n}$. Vi utvidgar $\beta$ till $\beta^{\dagger}=\{ \beta_1...\beta_n...\beta_m\}\supset \beta$ så att den utgör en bas till $B$. Vi vet att $g: \beta \rightarrow \textbf{0}$, men var mappas $\beta ^{\dagger} \setminus \beta$?

Nu måste jag sova men hann inte klart.

0 betyder initialt objekt. I R-Mod är detta den triviala R-modulen. I Grp är 0 den triviala gruppen.