Homogen Differentialekvation
Hej
De frågar jag har är för det första varför kallas homogen differentialekvation? Sedan min nästa frågar är vad är det som är så användbart med just homogena differential ekvationer? Och den sista sidan i min förklarar på punkt 3 om hur det inte finns några andra lösningar än y=C*e^(-ax) vilket jag inte riktigt hänger med. Det jag inte hänger med är varför de först antar att u=z*e^(-ax) är en lösning, sedan förstår jag inte varför att ifall derivatan av z är lika med noll så visar det att u inte är en lösning, sedan varför skriver de z=C?
Messi1010 skrev:Hej
De frågar jag har är för det första varför kallas homogen differentialekvation?
En homogen diffekvation äar en diffekvation där HL = 0
Sedan min nästa frågar är vad är det som är så användbart med just homogena differential ekvationer?
Om man behöver lös en inhomogen diffekvation, d v s en diffekvation där HL inte är lika med 0, så löser man motsvarande homogena diffekvattion, d v s hittar alla funktioner som gör att diffekvationens VL får värdet 0, plus hittar en funktion som gör att diffekvationens VL = HL.
Och den sista sidan i min förklarar på punkt 3 om hur det inte finns några andra lösningar än y=C*e^(-ax) vilket jag inte riktigt hänger med. Det jag inte hänger med är varför de först antar att u=z*e^(-ax) är en lösning, sedan förstår jag inte varför att ifall derivatan av z är lika med noll så visar det att u inte är en lösning, sedan varför skriver de z=C?
De gör ett motsägelsebevis, d v s först antar de att det finns en ANNAN lösning till diffekvationen, och sedan bevisar de att denna lösning måste vara lika med den lösning vi redan har, så alltså kan det inte finnas någon annan lösning.
Fast gäller det att ifall man kan visa att derivatan av z=0 så gäller det då att z=C och u=C*e^(-ax) och varför blir u'+au=0?
Messi1010 skrev:Fast gäller det att ifall man kan visa att derivatan av z=0 så gäller det då att z=C och u=C*e^(-ax) och varför blir u'+au=0?
Den primitiva funktionen till 0 är en konstant, som vi exempelvis kan kalla C.
Aha okej och vad är anledningen till att u'+au=0? I boken skriver de "u'+au=0 eftersom u är en lösning till y'+ay=0" fast förstår inte varför
Är du med på att man kan skriva om u =z.e-ax till z = u.eax?
Hur ser det ut när du deriverar z(x)? Tänk på att u är en funktion av x.
u'*e^ax+u*a*e^ax
Bryt ut eax ur uttrycket. Hur ser det ut då?
e^ax(u'+ux)
Messi1010 skrev:e^ax(u'+ux)
Andra termen i parentesen är inte korrekt
e^ax(u'+ua)
Mmmm. Och varför det blir lika med 0 står i rutan intill. Funktionen u är ju en lösning till diffekvationen y'+ay = 0.
