homogen diffekvation av andra ordningen (Matematik/Matte 5/Differentialekvationer)

Bakgrunden till Eulers formel är "snyggt" beskriven här:
https://sv.wikipedia.org/wiki/Eulers_formel

Derivatan av $e^{x}$ är per definition $e^{x}$ , varför lösningar till diff-ekvationer baserade på $e^{x}$ är särskilt "sannolika".

Affe Jkpg skrev:
Bakgrunden till Eulers formel är "snyggt" beskriven här:
https://sv.wikipedia.org/wiki/Eulers_formel
Derivatan av $e^{x}$ är per definition $e^{x}$ , varför lösningar till diff-ekvationer baserade på $e^{x}$ är särskilt "sannolika".

jaha, så den erhålls alltså även om man ersätter ett reellt tal och därför går det att sätta den på följande sätt likt e^(ix)?

danielladd skrev:
Affe Jkpg skrev:
Bakgrunden till Eulers formel är "snyggt" beskriven här:
https://sv.wikipedia.org/wiki/Eulers_formel
Derivatan av $e^{x}$ är per definition $e^{x}$ , varför lösningar till diff-ekvationer baserade på $e^{x}$ är särskilt "sannolika".
jaha, så den erhålls alltså även om man ersätter ett reellt tal och därför går det att sätta den på följande sätt likt e^(ix)?

Jag förstår tyvärr inte vad du funderar på. Kan du beskriva lite mer vad du tänker på?

Affe Jkpg skrev:
danielladd skrev:
Affe Jkpg skrev:
Bakgrunden till Eulers formel är "snyggt" beskriven här:
https://sv.wikipedia.org/wiki/Eulers_formel
Derivatan av $e^{x}$ är per definition $e^{x}$ , varför lösningar till diff-ekvationer baserade på $e^{x}$ är särskilt "sannolika".
jaha, så den erhålls alltså även om man ersätter ett reellt tal och därför går det att sätta den på följande sätt likt e^(ix)?
Jag förstår tyvärr inte vad du funderar på. Kan du beskriva lite mer vad du tänker på?

tror jag förstod nu med din förra förklaring! tack!

Affe Jkpg skrev:
danielladd skrev:
Affe Jkpg skrev:
Bakgrunden till Eulers formel är "snyggt" beskriven här:
https://sv.wikipedia.org/wiki/Eulers_formel
Derivatan av $e^{x}$ är per definition $e^{x}$ , varför lösningar till diff-ekvationer baserade på $e^{x}$ är särskilt "sannolika".
jaha, så den erhålls alltså även om man ersätter ett reellt tal och därför går det att sätta den på följande sätt likt e^(ix)?
Jag förstår tyvärr inte vad du funderar på. Kan du beskriva lite mer vad du tänker på?

Trodde jag förstod det men insåg nu att jag inte gör det. Ska försöka förklara tydligare vad jag inte förstår.

I differentialekvationer av andra ordningen går det att sätta y=Ce^(rx) som en lösning till y"+ay'+by. Jag undrar varför det går att sätta y=Ce^(rx) som en lösning till y"+ay'+by?

danielladd skrev:
Affe Jkpg skrev:
danielladd skrev:
Affe Jkpg skrev:
Bakgrunden till Eulers formel är "snyggt" beskriven här:
https://sv.wikipedia.org/wiki/Eulers_formel
Derivatan av $e^{x}$ är per definition $e^{x}$ , varför lösningar till diff-ekvationer baserade på $e^{x}$ är särskilt "sannolika".
jaha, så den erhålls alltså även om man ersätter ett reellt tal och därför går det att sätta den på följande sätt likt e^(ix)?
Jag förstår tyvärr inte vad du funderar på. Kan du beskriva lite mer vad du tänker på?
Trodde jag förstod det men insåg nu att jag inte gör det. Ska försöka förklara tydligare vad jag inte förstår.
I differentialekvationer av andra ordningen går det att sätta y=Ce^(rx) som en lösning till y"+ay'+by. Jag undrar varför det går att sätta y=Ce^(rx) som en lösning till y"+ay'+by?

Andraderivatan och derivatan av $e^{x}$ är per definition $e^{x}$ , varför lösningar (y) till diff-ekvationer (y"+ay'+by) baserade på $e^{x}$ är särskilt "sannolika".

Affe Jkpg skrev:
danielladd skrev:
Affe Jkpg skrev:
danielladd skrev:
Affe Jkpg skrev:
Bakgrunden till Eulers formel är "snyggt" beskriven här:
https://sv.wikipedia.org/wiki/Eulers_formel
Derivatan av $e^{x}$ är per definition $e^{x}$ , varför lösningar till diff-ekvationer baserade på $e^{x}$ är särskilt "sannolika".
jaha, så den erhålls alltså även om man ersätter ett reellt tal och därför går det att sätta den på följande sätt likt e^(ix)?
Jag förstår tyvärr inte vad du funderar på. Kan du beskriva lite mer vad du tänker på?
Trodde jag förstod det men insåg nu att jag inte gör det. Ska försöka förklara tydligare vad jag inte förstår.
I differentialekvationer av andra ordningen går det att sätta y=Ce^(rx) som en lösning till y"+ay'+by. Jag undrar varför det går att sätta y=Ce^(rx) som en lösning till y"+ay'+by?
Andraderivatan och derivatan av $e^{x}$ är per definition $e^{x}$ , varför lösningar (y) till diff-ekvationer (y"+ay'+by) baserade på $e^{x}$ är särskilt "sannolika".

I diffekvationer av första ordningen används istället C*e^(-ax) varför skiljer de sig?

Kort svar: För att andra ordningens diffekvationer är ungefär dubbelt så krångliga som första ordningens.

Om du har diffekvationen $y''+ay'+by=0$ så skapar du hjälpekvationen $r^2+ar+b=0$ , alltså en andragradsekvation. Det finns tre möjligheter när det gäller andragradsekvationer (med reella koefficienter): Det finns två reella rötter, det finns en reell dubbelrot och det finns två komplexa rötter. Var och en av dessa möjligheter ger en lösning till diffekvationen som ser olika ut.

Smaragdalena skrev:
Kort svar: För att andra ordningens diffekvationer är ungefär dubbelt så krångliga som första ordningens.
Om du har diffekvationen $y''+ay'+by=0$ så skapar du hjälpekvationen $r^2+ar+b=0$ , alltså en andragradsekvation. Det finns tre möjligheter när det gäller andragradsekvationer (med reella koefficienter): Det finns två reella rötter, det finns en reell dubbelrot och det finns två komplexa rötter. Var och en av dessa möjligheter ger en lösning till diffekvationen som ser olika ut.

så man kan säga att C*e^(rx) gör så att alla lösningar blir korrekta vare sig det är två reella rötter, en reell rot och när det finns två komplexa rötter?

Om du menar det jag tror att du menar - ja.

Smaragdalena skrev:
Om du menar det jag tror att du menar - ja.

okej, tack!

danielladd skrev:
Allmänt gäller för en homogen diffekvation av andra ordningen att ansätta y=c*e^(rx).
Det jag undrar är varför det går att ansätta y=ce^(rx) endast för att som jag lärt mig e^(ix)=(cosx+isinx). Orkar någon förklara för mig hur det hänger ihop?
All hjälp uppskattas!.

Hej!

Man gissar att $y(x)=Ce^{rx}$ är en lösning till differentialekvationen. Matematiken visar att detta stämmer endast om parametern $r$ uppfyller en andragradsekvation.

Man kan fråga sig om differentialekvationen har andra lösningar än den som man gissat. För att svara på den frågan behöver men veta när differentialekvationen har en unik lösning. Om man har matematiska resultat som säger att differentialekvationen har en unik lösning, och du har gissat en lösning och visat att din gissning stämmer, så har du funnit ekvationens lösning.

Albiki skrev:
danielladd skrev:
Allmänt gäller för en homogen diffekvation av andra ordningen att ansätta y=c*e^(rx).
Det jag undrar är varför det går att ansätta y=ce^(rx) endast för att som jag lärt mig e^(ix)=(cosx+isinx). Orkar någon förklara för mig hur det hänger ihop?
All hjälp uppskattas!.
Hej!
Man gissar att $y(x)=Ce^{rx}$ är en lösning till differentialekvationen. Matematiken visar att detta stämmer endast om parametern $r$ uppfyller en andragradsekvation.
Man kan fråga sig om differentialekvationen har andra lösningar än den som man gissat. För att svara på den frågan behöver men veta när differentialekvationen har en unik lösning. Om man har matematiska resultat som säger att differentialekvationen har en unik lösning, och du har gissat en lösning och visat att din gissning stämmer, så har du funnit ekvationens lösning.

jaha! då förstår jag tack!

Affe Jkpg
Postad: 3 dagar sedan
Bakgrunden till Eulers formel är "snyggt" beskriven här:
https://sv.wikipedia.org/wiki/Eulers_formel nya
Derivatan av exexär per definition exex, varför lösningar till diff-ekvationer baserade på exexär särskilt "sannolika".

Tack för att du delar!