Högskoleprovet VT21 (13 mars 2021): lösningar

Provpass 3, fråga 1.

$2\left(x-6\right)=4(2-x)$

Vilket värde har x? 

A: 2

B: $\frac{10}{3}$

C: $\frac{14}{3}$

D: 5

Vi har en enda ekvation, med en obekant. Det enklaste är nog därför att lösa ekvationen på sedvanligt sätt, genom att utveckla parenteserna i vardera led, och sedan förenkla. Då får vi: 

$$\begin{gathered} 2·x-2·6=4·2-4·x \\ 2x-12=8-4x \\ 2x-12+12+4x=8-4x+12+4x \\ 6x=20 \\ \frac{6x}{6}=\frac{20}{6} \\ x=\frac{20}{6} \end{gathered}$$

Vi förenklar nu bråket genom att förkorta med 2, och får då att $x=\frac{2·10}{2·3}=\frac{10}{3}$. 

Svar: B, $\frac{10}{3}$.

Provpass 3, fråga 2:

$f(x)=3x^2-12$

Vilket svarsalternativ anger ett x-värde för vilket $f(x)=0$?

A: 0

B: 2

C: 4

D: 12

Vi kan prova de olika alternativen, och se om de uppfyller att $f(x)=0$, men om vi känner oss bekväma med att lösa ekvationer går det troligtvis fortare att lösa ekvationen $f(x)=0$.

$f(x)$ kan skrivas som $3x^2-12$. Ekvationen $f(x)=0$ kan därför skrivas som $3x^2-12=0$. Vi försöker nu lösa ekvationen så att vi får en ekvation på formen $x=...$:

$$\begin{gathered} 3x^2-12+12=0+12 \\ 3x^2=12 \\ \frac{3x^2}{3}=\frac{12}{3} \\ {x}^2=4 \\ x=\pm \sqrt{4} \\ x=\pm 2 \end{gathered}$$

Eftersom $x=2$ är en lösning till ekvationen $f(x)=0$, är alternativ B rätt svar. 

Svar: B, 2.

Provpass 3, fråga 3:

Vad är 20 procent av $\frac{1}{5}$?

A: $\frac{5}{20}$

B: $\frac{1}{20}$

C: $\frac{1}{25}$

D: $\frac{1}{100}$

Tjugo procent motsvarar en femtedel. En femtedel av en femtedel kan beräknas som $\frac{\left({\displaystyle \frac{1}{5}}\right)}{5}$, vilket kan förenklas med hjälp av divisionsreglerna för bråk till: 

$\frac{\left({\displaystyle \frac{1}{5}}\right)}{5}=\frac{\left({\displaystyle \frac{1}{5}}\right)}{\left({\displaystyle \frac{5}{1}}\right)}=\frac{1}{5}·\frac{1}{5}=\frac{1}{25}$

Vilket stämmer överens med alternativ C, $\frac{1}{25}$.

Svar: C, $\frac{1}{25}$.

Provpass 3, fråga 4:

Hur stor är arean av femhörningen nedan?

A: 60 cm²

B: 66 cm²

C: 68 cm²

D: 80 cm²

Vi kan dela upp figuren i två rektanglar och en triangel, och beräkna respektive figurs area: 

Men det kräver en del pillande för att få fram alla mått, och sedan har vi tre figurer vars areor måste beräknas. Denna metod fungerar absolut, men ett lite snabbare sätt att räkna är att se figuren som en rektangel där en triangel skurits bort: 

En triangels area beräknas som $A_{\mathrm{triangel}}=\frac{b·h}{2}$, och en rektangels area beräknas som $A_{\mathrm{rektangel}}=b·h$, där b är basen och h är höjden. Rektangelns mått har vi fått som 10 respektive 8 cm, och därmed är rektangelns area $10\cdot8\;\mathrm{ cm^2}=80\;\mathrm{ cm^2}$. Triangelns mått måste vi ta fram med hjälp av informationen i bilden. 

Triangelns vertikala katet sträcker sig längs rektangelns kortsida, och tar upp hela sidan förutom 4 cm. Eftersom rektangelns sida kortsida är 8 cm, är triangelns vertikala katet $8-4=4$ (cm). Triangelns horisontella katet tar upp hela rektangelns långsida, förutom 4 cm. Det innebär att triangelns horisontella katet är $10-4=6$ (cm). Triangeln har alltså måtten 4 respektive 6 cm. 

Triangelns area fås, med dessa mått, som $\frac{6·4}{2} {\mathrm{cm}}^2=12 {\mathrm{cm}}^2$. 

Vi har en rektangel med arean 80 kvadratcentimeter, och vi skär bort ett hörn med arean 12 kvadratcentimeter från rektangeln. Kvar blir då en figur med arean $80-12\;\mathrm{cm^2}=68\;\mathrm{cm^2}$. 

Svar: C, $68\;\mathrm{ cm^2}$. 

Provpass 3, fråga 5:

Vad är medianen av alla heltal från och med 1 till och med 10?

A: 4,5

B: 5

C: 5,5

D: 6,5

Medianen är det tal som ligger i mitten av en storleksordnad serie tal. Att beräkna medianen av en kortare serie tal görs lättast genom att skriva upp talen i storleksordning, och successivt stryka den största och minsta siffran: 

$$\begin{gathered} \cancel{1}, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, \cancel{\cancel{10}} \\ \cancel{1}, \cancel{\cancel{2}}, 3, 4, 5, 6, 7, 8, \cancel{\cancel{9}}, \cancel{\cancel{10}} \\ \cancel{1}, \cancel{\cancel{2}}, \cancel{\cancel{3}}, 4, 5, 6, 7, \cancel{\cancel{8}}, \cancel{\cancel{9}}, \cancel{\cancel{10}} \\ \cancel{1}, \cancel{\cancel{2}}, \cancel{\cancel{3}}, \cancel{4}, 5, 6, \cancel{\cancel{7}}, \cancel{\cancel{8}}, \cancel{\cancel{9}}, \cancel{\cancel{10}} \end{gathered}$$

Medianen av talen ett till och med tio är därmed det tal som ligger mittemellan 5 och 6, vilket är medelvärdet av 5 och 6:

$\frac{5+6}{2}=5,5$

Svar: C; 5,5

Provpass 3, fråga 6:

$2^x·4^y=16$

Vad är $x+2y$?

A: 2

B: 4

C: 6

D: 8

Här har vi en ekvation, men två obekanta tal. Det innebär att det inte finns en unik uppsättning värden på x och y, utan flera olika värden på x och y finns som uppfyller ekvationen. Dock är vi här inte ute efter x och y, utan summan av x och 2y. Den kan fortfarande gå att beräkna. 

Det finns ingen vattentät metod för problem av denna typ; en ekvation med flera obekanta, där vi letar efter något värde av en summa av dessa obekanta tal. Vi får därför prova oss fram. 

Vi har två faktorer i vänsterledet, vilket försvårar för oss. Vi kan prova att försöka skriva ihop dem på något sätt. 

En potenslag säger att $a^b·a^c=a^{b+c}$, som skulle kunna fungera i detta fall, men då gäller det att faktorerna har samma bas (i denna formel är basen a). Vi kan prova att skriva faktorn $4^y$ med basen 2. 

$4=2^2$, och det finns en potenslag som säger att ${\left(a^b\right)}^c=a^{b·c}$. Det innebär för oss att vi kan skriva om $4^y$ som ${\left(2^2\right)}^y=2^{2y}$. 

Nu har vi en faktor med $x$ som exponent, och en faktor med exponenten $2y$. Summan vi letade efter är $x+2y$... Vi verkar vara något på spåren! 

Nu när faktorerna har samma bas kan vi använda oss av att $a^b·a^c=a^{b+c}$, och skriva hela vänsterledet som $2^{x+2y}$. Vi får då ekvationen: 

$2^{x+2y}=16$

16 är lika med $2^4$. Det gör att vi kan skriva om ekvationen till $2^{x+2y}=2^4$. Om det gäller att $a^b=a^c$, kan vi sluta oss till att $b=c$. Vi kan nu sluta oss till att $x+2y=4$. 

Svar: B, 4.

Provpass 3, fråga 7:

Vilket svarsalternativ är med säkerhet korrekt?

A: Om $x+z>180^{\circ}$ så är $y>90^{\circ}$ och $w<90^{\circ}$

B: Om $x+z>180^{\circ}$ så är $y+w<180^{\circ}$

C: Om $x+z<180^{\circ}$ så är $y>90^{\circ}$ och $w>90^{\circ}$

D: Om $x+z<180^{\circ}$ så är $y+w<180^{\circ}$

En fyrhörnings vinkelsumma är alltid 360 grader. Detta kan härledas genom att dela upp fyrhörningen i två trianglar. Eftersom en triangel alltid har vinkelsumman 180 grader, kommer två som sätts ihop till en fyrhörning att ha vinkelsumman 360 grader. Vi kan därför skriva att $x+y+z+w=360°$, oavsett vilka värden de fyra vinklarna har. 

Nu kan vi pröva de olika påståendena, och avfärda de som inte garanterat är sanna. 

• Påstående A, Om $x+z>180^{\circ}$ så är $y>90^{\circ}$ och $w<90^{\circ}$:
  
  Om $x+z$ är större än 180 grader, måste summan av de andra två vinklarna, $y+w$, vara mindre än 180 grader för att den totala vinkelsumman inte ska överstiga 360 grader. Vi kan dock fördela dessa grader på många olika sätt, exempelvis $y=50^{\circ}\;w=60^{\circ}$, men också $y=30^{\circ}\;w=100^{\circ}$. Det går även utmärkt att byta plats på y och w. Vi kan därför inte med säkerhet säga att en av vinklarna y och w är större än 90 grader och en mindre än 90 grader. Även om vi hade kunnat säga så, kan vi inte med säkerhet säga att just w skulle vara den vinkel som är mindre än 90 grader. 
  
  A är inte ett korrekt påstående.
  
  
• Påstående B: Om $x+z>180^{\circ}$ så är $y+w<180^{\circ}$:
  
  Detta påstående kan sättas in direkt i vår ekvation, om vi grupperar vinklarna så att x och z, respektive y och w står tillsammans: 
  
  $$\begin{gathered} x+y+z+w=360° \\ \left(x+z\right)+\left(y+w\right)=360° \end{gathered}$$
  
  Om vi nu flyttar parentesen med $x+z$ till högerledet, får vi att: 
  
  $\left(y+w\right)=360°-\left(x+z\right)$
  
  Om $x+z>180^{\circ}$, då måste $y+w$ vara mindre än 180 grader, för att vinkelsumman ska 360 grader. 
  
  B är ett korrekt påstående.
  
  
• Påstående C: Om $x+z<180^{\circ}$ så är $y>90^{\circ}$ och $w>90^{\circ}$
  
  Detta påstående har samma problem som påstående A har. Summan av y och w måste vara större än 180 grader för att vinkelsumman ska vara 360 grader, men det betyder inte att både y och w måste vara större än 90 grader. Vi kan konstruera en fyrhörning där $y=80^{\circ},\;w=110^{\circ}$, vilket uppfyller att $x+z<180^{\circ}$, men inte att både y och w är större än 90 grader. 
  
  Påstående C är inte korrekt.
  
  
• Påstående D: Om $x+z<180^{\circ}$ så är $y+w<180^{\circ}$
  
  Detta påstående strider mot kravet på att vinkelsumman ska vara 360 grader. Om vi har två par av vinklar vars summor båda är mindre än 180 grader, kommer summan av de två paren att vara mindre än 360 grader. 
  
  Påstående D är inte korrekt. 

Svar: B, Om $x+z>180^{\circ}$ så är $y+w<180^{\circ}$.

Provpass 3, fråga 8:

Vad är $\frac{{\displaystyle \frac{3}{4}}+{\displaystyle \frac{4}{3}}}{{\displaystyle \frac{12}{5}}}$?

A: 5

B: $\frac{5}{12}$

C: $\frac{49}{60}$

D: $\frac{125}{144}$

Detta bråkuttryck är krångligt – täljare och nämnare har inga faktorer vi kan förkorta bort, och inga termer som liknar varandra där vi kanske skulle kunna bryta ut något – och då är den enklaste metoden troligtvis att helt enkelt beräkna bråkets värde genom att använda minsta gemensamma nämnare och räkneregler för bråk. 

Vi börjar med att skriva täljarens bråk på samma bråkstreck, genom att förlänga bråken så att de båda har nämnaren 12:

$\frac{{\displaystyle \frac{3}{4}}+{\displaystyle \frac{4}{3}}}{{\displaystyle \frac{12}{5}}}=\frac{{\displaystyle \frac{3·3}{4·3}}+{\displaystyle \frac{4·4}{3·4}}}{{\displaystyle \frac{12}{5}}}=\frac{{\displaystyle \frac{9+16}{12}}}{{\displaystyle \frac{12}{15}}}=\frac{ {\displaystyle \frac{25}{12}} }{{\displaystyle \frac{12}{5}}}$

Nu kan vi dividera bråket i täljaren med bråket i nämnaren: 

$\frac{ {\displaystyle \frac{25}{12}} }{{\displaystyle \frac{12}{5}}}=\frac{25}{12}·\frac{5}{12}=\frac{25·5}{12·12}$

Förenkling av täljare och nämnare ger nu:

$\frac{25·5}{12·12}=\frac{125}{144}$

Svar: D, $\frac{125}{144}$.

Provpass 3, fråga 9:

Vilket svarsalternativ motsvarar uttrycket $\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}\mathbf{)}\mathbf{(}{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{a}\mathbf{b}\mathbf{+}{\mathbf{b}}^{\mathbf{2}}\mathbf{)}$?

A: $a^2-2ab+b^2$

B: $a^3+2a^{2}b+2a{b}^2+b^3$

C: $a^3+2a{b}^2+b^3$

D: $a^3+b^3$

Den som tvingats memorera formler i gymnasiet kanske känner igen detta uttryck som "kubregeln". Det är dock ingenting en förväntas kunna, vanlig utveckling av parenteser fungerar utmärkt. Vi beräknar produkten genom att multiplicera varje term i den vänstra parentesen, med varje term i den högra parentesen. 

Att skriva ned formeln och markera precis vilka termer som, när de multipliceras, ger vilken produkt, är ofta en bra idé när det är många termer.

Nu kan vi addera ihop de sex produkter vi har fått fram, och får då: 

$$\begin{gathered} a^3+a^{2}b+a{b}^2+b^3+\left(-a{b}^2\right)+\left(-a^{2}b\right)= \\ {a}^3+b^3 \end{gathered}$$

Svar: D, $a^3+b^3$

Provpass 3, fråga 10:

$f\left(x\right)=\frac{x}{2}-1$

Vilket svarsalternativ visar grafen till funktionen $g(x)=2f(x)+3$?

$g(x)=2f(x)+3$ betyder att $g(x)$ är lika med det dubbla värdet av $f(x)$, plus tre. Vi kan antingen välja att titta på värdet av $f(x)$ för några punkter, eller utgå från formeln för $f(x)$ direkt. 

Jämföra punkter:

En rät linje kan definieras entydigt med hjälp av två punkter. För säkerhets skull tar vi tre punkter, vilket vi gör genom att välja tre olika värden på x, exempelvis 0, 1 och 2. Vilka värden har $g(x)$ för dessa x-värden? Eftersom $g(x)$ är beroende av värdet av $f(x)$, börjar vi med att beräkna värdena av $f(x)$ för våra x-värden, dvs. $f(0),\;f(1),\;f(2)$: 

$$\begin{gathered} f\left(0\right)=\frac{0}{2}-1=-1 \\ f\left(1\right)=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2} \\ f\left(2\right)=\frac{2}{2}-1=0 \end{gathered}$$

Nu kan vi hitta värdena av $g(0),\;g(1)\;g(2)$: 

$$\begin{gathered} g\left(x\right)=2·f\left(x\right)+3 \\ g\left(0\right)=2·f\left(0\right)+3=-2+3=1 \\ g\left(1\right)=2·f\left(1\right)+3=-1+3=2 \\ g\left(2\right)=2·f\left(2\right)+3=0+3=3 \end{gathered}$$

Med hjälp av dessa värden, kan vi konstatera att linjen vi söker ska skära punkterna $(0,1)$, $(1,2)$ och $(2,3)$. Den enda grafen bland alternativen som skär dessa punkter är alternativ A. 

Jämföra ekvationer: 

Om $f(x)=\frac{x}{2}-1$, och $g(x)=2\cdot f(x)+3$, kan vi sätta in ekvationen för $f(x)$ i ekvationen för $g(x)$ och förenkla. Vi får då att: 

$g\left(x\right)=2·f\left(x\right)+3=2\left(\frac{x}{2}-1\right)+3=2·\frac{x}{2}+2·\left(-1\right)+3=x+1$

Det alternativ vi vill välja är alltså den graf som växer med ett steg i y för varje steg i x ($k=1$), och som flyttats upp ett steg i y-led ($m=1$). Endast alternativ A uppfyller båda dessa krav

Svar: A

Provpass 3, fråga 11:

x och y är positiva tal. Om x var 25 % större och y var 25 % mindre så skulle talen vara lika stora. Hur förhåller sig x till y?

A: $x=\frac{y}{2}$

B: $x=\frac{3y}{5}$

C: $x=\frac{2y}{3}$

D: $x=\frac{4y}{5}$

25% ökning av x kan skrivas som $x+0,25·x$, vilket kan summeras till $1,25x$. 25% minskning av y kan skrivas som $y-0,25·y$, vilket vi kan summera till $0,75y$. Enligt uppgiften är dessa uttryck lika stora, vilket ger oss ekvationen $1,25x=0,75y$. 

Eftersom svarsalternativen är skrivna i bråkform, vill vi skriva 1,25 och 0,75 i bråkform, $\frac{5}{4}$ respektive $\frac{3}{4}$. Eftersom svarsalternativen ges på formen $x=...$, vill vi isolera x ensamt i ett led. Vi har ekvationen: 

$\frac{5}{4}x=\frac{3}{4}y$

För att bli av med nämnarna kan vi börja med att multiplicera båda led med fyra: 

$$\begin{gathered} 4·\frac{5}{4}x=4·\frac{3}{4}y \\ 5x=3y \end{gathered}$$

Nu kan vi dividera båda led med fem, för att få x ensamt: 

$$\begin{gathered} \frac{5x}{5}=\frac{3y}{5} \\ x=\frac{3y}{5} \end{gathered}$$

Svar: B, $x=\frac{3y}{5}$. 

Provpass 3, fråga 12:

$x$ är ett heltal större än 0. Vilket är det minsta värde som $x$ kan ha för att $75x$ ska vara kvadraten på ett heltal?

A: 3

B: 5

C: 25

D: 75

Svarsalternativen är här tillräckligt små för att det ska vara möjligt att prova sig fram, men vi skulle även kunna använda faktorisering för att lösa uppgiften. Faktorisering går nog fortare, särskilt för den som inte har memorerat många kvadrattal, men båda metoder fungerar. 

Prova respektive alternativ: 

Vi kan börja med att lista de första kvadrattalen:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400

Alternativ A skulle ge $75\cdot3=225$. Detta tal finns med i listan av kvadrattal ovan, och vi vet då att alternativ A är rätt svar. 

Alternativ B skulle ge $75\cdot5=375$, vilket inte finns med i listan ovan. Alternativ B är därmed inkorrekt. 

Samma beräkningsmetod kan appliceras på alternativ C och D för att utesluta även dessa alternativ. 

Faktorisering: 

Ett kvadrattal kan skrivas på formen $a^2$‚ där a är något heltal. 75 kan faktoriseras till $75=25\cdot3=5\cdot5\cdot3=5^2\cdot3$. Vi har en faktor som redan är kvadrerad.

Om x skulle vara lika med tre, skulle $75x$ vara lika med $5^2\cdot3\cdot3=5^2\cdot3^2$.

Då kan vi utnyttja potenslagen $a^c·b^c={\left(ab\right)}^c$, så att vi kan skriva om $5^2\cdot3^2$ till $(5\cdot3)^2$. Eftersom vi har ett tal ($5\cdot3$) upphöjt i två är produkten ett kvadrattal. 

$x=3$ är ett alternativ, och är det minsta värdet på x som uppfyller kravet. Därför väljer vi alternativ A, 3. 

Om $x=3$ inte hade varit ett alternativ, hade vi behövt hitta ett annat tal som innehåller faktorn 3, samt vars andra faktorer också kommer i dubbel uppsättning. I denna uppgift är 75 ett svarsalternativ som ger ett kvadrattal (dock ej det minsta alternativet), medan 5 och 25 inte innehåller någon faktor 3, och därför inte kan ge en heltalskvadrat vid multiplikation med 75. 

Svar: A, 3.

Provpass 3, fråga 13:

$f\left(x\right)=-4x+2$

Kvantitet I: $f\left(-\frac{1}{2}\right)$

Kvantitet II: 0

A: I är större än II

B: II är större än I

C: I är lika med II

D: informationen är otillräcklig

Kvantitet I: $f\left(-\frac{1}{2}\right)$ beräknas genom att sätta in $-\frac{1}{2}$ i $f\left(x\right)=-4x+2$. Då får vi: 

$f\left(-\frac{1}{2}\right)=-4\left(-\frac{1}{2}\right)+2=2+2=4$

Kvantitet II: 0

Svar: A, I är större än II.

Provpass 3, fråga 14:

Kvantitet I: ${\left(\sqrt{x}\right)}^{\sqrt{9}+1}$

Kvantitet II: ${\left(\sqrt{x}\right)}^4$

A: I är större än II

B: II är större än I

C: I är lika med II

D: informationen är otillräcklig

Förenkling av exponenten i kvantitet I ger att kvantitet I är lika med ${\left(\sqrt{x}\right)}^{\sqrt{9}+1}={\left(\sqrt{x}\right)}^{3+1}={\left(\sqrt{x}\right)}^4$. 

Kvantitet II är också ${\left(\sqrt{x}\right)}^4$, vilket ger oss att svaret är C. 

Svar: C, I är lika med II.

Provpass 3, fråga 15:

Kvantitet I: $0,{97}^{97}$

Kvantitet II: $1,{07}^7$

A: I är större än II

B: II är större än I

C: I är lika med II

D: informationen är otillräcklig

Här behövs kunskaper om hur olika tal beter sig när de upphöjs till andra tal. Hur förändras värdet av $a^b$, beroende på a och b?

• Om a är ett positivt tal som är mindre än ett: 
  •  Om b är ett positivt tal som är mindre än ett kommer $a^b$ att vara större än $a$. 
  •  Om b är större än ett kommer $a^b$ att vara mindre än $a$.
• Om a är större än ett: 
  • Om b är ett positivt tal som är mindre än ett, kommer $a^b$ att vara mindre än $a$. 
  • Om b är större än ett kommer $a^b$ att vara större än $a$.

Kvantitet I faller under punkt två – a är mindre än ett, b är större än ett, vilket ger oss att $0,{97}^{97}$ är mindre än 0,97. 

Kvantitet II faller under punkt fyra – a är större än ett, b är större än ett, vilket ger oss att $1,{07}^7$ är större än 1,07. 

Kvantitet I är mindre än 0,97, och kvantitet II är större än 1,07. Vi kan därmed dra slutsatsen att kvantitet II är större än kvantitet I. 

Svar: B, II är större än I. 

Provpass 3, fråga 16:

I triangeln T är alla vinklar olika stora.

Kvantitet I: Den minsta vinkeln i triangeln T

Kvantitet II: 75°

A: I är större än II

B: II är större än I

C: I är lika med II

D: informationen är otillräcklig

Vinkelsumman i en triangel är 180 grader. Den minsta vinkeln i en triangel kan komma hur nära noll som helst, men hur stor kan den minsta vinkeln i en triangel vara? Den minsta vinkeln kan inte vara större än någon annan vinkel i triangeln, eftersom vinkeln då inte är minst. 

Den största vinkel som ändå är den minsta vinkeln i en triangel, får vi om triangeln är liksidig, och alla vinklar är lika stora. Tre lika stora vinklar som totalt ska vara 180 grader innebär att varje vinkel är 60 grader. 

Utöver detta har vi ytterligare ett krav: alla vinklar är olika stora. Då måste den minsta vinkeln vara aningen mindre än 60 grader. Detta krav bidrar egentligen inte med någon information vi behöver. 60 grader är mindre än 75 grader, och därmed kan vi sluta oss till att kvantitet II är större än I. 

Svar: B, II är större än I.

Provpass 3, fråga 17:

I en burk finns det 190 kulor som är numrerade med heltalen 1, 2, 3, ..., 189, 190.
En kula plockas slumpmässigt ur burken.

Kvantitet I: Sannolikheten att numret på kulan är ett tvåsiffrigt heltal

Kvantitet II: 50 %

A: I är större än II

B: II är större än I

C: I är lika med II

D: informationen är otillräcklig

För att bestämma kvantitet I måste vi först veta hur många tvåsiffriga tal som finns i burken, och här gäller det att vara noggrann. Talen tio till och med nitton utgör tio tal. 20–29 utgör tio tal, och detsamma gäller för intervallen 30–39, 40–49, 50–59, 60–69, 70—79, 80–89 och 90–99. Vi har alltså nio intervall med tio tal vardera, vilket ger nittio tal. Nittio av kulorna har alltså tvåsiffriga tal skrivna på sig. 

Sannolikheten för att en kula bär ett tvåsiffrigt tal är då $\frac{90}{190}$. Är den sannolikheten större eller mindre än 50%? Ett sätt att räkna är att notera att $0,50\cdot190=95$. Femtio procent av kulorna motsvarar 95 kulor. $\frac{95}{190}$ är större än $\frac{90}{190}$, och därmed är 50% mer än $\frac{90}{190}$. 

Svar: B, II är större än I.

Provpass 3, fråga 18:

Linjen A går genom punkterna (1, 2) och (2, 3). Linjen B är vinkelrät mot linjen A.

Kvantitet I: Riktningskoefficienten för linjen A

Kvantitet II: Riktningskoefficienten för linjen B

A: I är större än II

B: II är större än I

C: I är lika med II

D: informationen är otillräcklig

Det går att beräkna detta analytiskt med hjälp av att lutningarna för två vinkelräta linjer uppfyller ekvationen $k_1·k_2=-1$, men det går fortare att undersöka detta geometriskt. Vi börjar med att rita upp ett koordinatsystem, och sätter ut punkterna $(1,2)$ och $(2,3)$:

Linjen A går igenom dessa punkter. Använd en linjal för att dra linjen A:

Frågan är nu kring linjen B. Vi har ingen information om var B skär A. Nedan finns några möjliga linjer som skulle kunna fungera som B:

Någon exakt linje kan vi dock inte bestämma. Det vi kan läsa av från vår figur är att linje A har en positiv lutning, och linje B har en negativ lutning. Frågan är nu om denna information räcker för att besvara frågan, och eftersom kvantiteterna utgår från riktningskoefficienterna (lutningarna) kan vi dra slutsatsen att I är större än II. 

Svar: A, I är större än II.

Provpass 3, fråga 19:

Kvantitet I: 159 liter

Kvantitet II: 15 900 cm³

A: I är större än II

B: II är större än I

C: I är lika med II

D: informationen är otillräcklig

En liter är samma volym som en kubikdecimeter. Om du är osäker på vilket kubik-mått som ger en liter, tänk på ett litermått. Är dess sidor ungefär en centimeter, en decimeter, eller en meter långa? För de litermått som inte har väldigt märkliga proportioner brukar ett decilitermått ha ungefär en decimeter i sidlängder.

Det går tio centimeter på en decimeter (centi- betyder hundradel, och deci- betyder tiondel). Eftersom volym är ett tredimensionellt mått (längd, bredd och höjd), innebär detta att det går $(10 \mathrm{cm})·(10 \mathrm{cm})·(10 \mathrm{cm})=1000 {\mathrm{cm}}^3$ per kubikdecimeter. 

15 900 kubikcentimeter motsvarar därmed $\frac{15 900}{1000}=15,9$ kubikdecimeter / liter. Kvantitet I är därmed större än kvantitet II. 

Svar: A, I är större än II. 

Provpass 3, fråga 20:

Kvantitet I: Produkten av ett tresiffrigt positivt heltal och ett tvåsiffrigt positivt heltal

Kvantitet II: Ett fyrsiffrigt positivt heltal

A: I är större än II

B: II är större än I

C: I är lika med II

D: informationen är otillräcklig

Denna uppgift kan förenklas med hjälp av grundpotensform, men det är också möjligt att prova sig fram. I slutet kommer vi att behöva prova oss fram.

Kvantitet I: Här är det hjälpsamt att skriva talen i grundpotensform. Ett tresiffrigt tal kan skrivas som $a\cdot100$, där a är ett tal mellan ett och 10 ($1\le a<10$). På samma sätt kan ett tvåsiffrigt tal skrivas som $b\cdot10$, ($1\le b<10$). 

Produkten av det tresiffriga talet och det tvåsiffriga talet är då $\left(a·100\right)·\left(b·10\right)=ab·1000$. 

Är nu vårt fyrsiffriga tal i kvantitet II större eller mindre än $ab·1000$? Det beror på vilka tal vi har. Om a och b är exempelvis 3 och 4, kommer produkten i I att vara 12 000, och därmed större än det fyrsiffriga talet i II, men om a och b är ett, och det fyrsiffriga talet är 5 000, kommer I att vara mindre än II. Det går helt enkelt inte att avgöra med den information vi har fått. 

Svar: D, informationen är otillräcklig.

Provpass 3, fråga 21:

Arean av en cirkel är ${\mathrm{\pi }}^3$ cm².

Kvantitet I: Cirkelns radie

Kvantitet II: $\mathrm{\pi }$ cm

A: I är större än II

B: II är större än I

C: I är lika med II

D: informationen är otillräcklig

Arean av en cirkel beräknas med formeln $\mathrm{A}=\mathrm{\pi }·r^2$. 

Kvantitet I: Vi sätter in arean vi har fått från uppgiften, och löser ut radien: 

$$\begin{gathered} {\mathrm{\pi }}^3=\mathrm{\pi }·r^2 \\ \frac{{\mathrm{\pi }}^3}{\mathrm{\pi }}=\frac{\mathrm{\pi }·r^2}{\mathrm{\pi }} \\ {\mathrm{\pi }}^2=r^2 \\ \pm \mathrm{\pi }=r \end{gathered}$$

Eftersom en radie är en sträcka, måste radien vara positiv. Vi kan då dra slutsatsen att kvantitet I är lika stor som II.

Svar: C, I är lika med II.

Provpass 3, fråga 22:

$$\begin{gathered} x>0 \\ y>0 \\ \sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{x}{y } \end{gathered}$$

Kvantitet I: 2

Kvantitet II: $\frac{2y}{x}$

A: I är större än II

B: II är större än I

C: I är lika med II

D: informationen är otillräcklig

Det finns många olika sätt lösa denna ekvation, men ett snabbt sätt är att se bråket $\frac{x}{y}$ som ett eget tal, vi kan kalla talet t (vi sätter att $t=\frac{x}{y}$). Då får vi ekvationen $\sqrt{t}=t$. Vilka tal är lika med roten ur sig själva?

Det finns bara två, noll och ett. 

Om t skulle vara noll skulle detta innebära att $0=\frac{x}{y}$. Om vi multiplicerar båda led får vi då att:

$$\begin{gathered} 0·y=\frac{x}{y}·y \\ 0=x \end{gathered}$$

vilket uppgiften uteslutit i och med kravet att x ska vara större än noll. Därför kan vi sluta oss till att t måste vara ett. Det ger oss ekvationen $1=\frac{x}{y}$, som kan skrivas om genom multiplikation av båda led med y: 

$$\begin{gathered} 1·y=\frac{x}{y}·y \\ y=x \end{gathered}$$

Vi kan nu sätta in detta i kvantitet II, $\frac{2y}{x}$, och få: 

$\frac{2y}{x}=\frac{2x}{x}=2$, 

givet att x inte är noll (division med noll är inte tillåtet), vilket uppgiften har uteslutit. 

Svar: C, I är lika med II.

Provpass 3, fråga 23:

Emma kör bil på en väg som har en sträcka där ett vägarbete pågår. Hur lång är sträckan med vägarbete?

(1) När Emma har kört längs sträckan med vägarbete i 2 minuter har hon kört 1/5 av hela sträckan med vägarbete. Efter ytterligare 3 minuter har hon kört halva sträckan med vägarbete.

(2) Emma kör med konstant hastighet.

Tillräcklig information för lösningen erhålls

A: i (1) men ej i (2)
B: i (2) men ej i (1)
C: i (1) tillsammans med (2)
D: i (1) och (2) var för sig
E: ej genom de båda påståendena

Sträcka, tid och hastighet hänger ihop med sambandet $\mathrm{sträcka}=\mathrm{hastighet}·\mathrm{tid}$. Om vi har två av värdena (exempelvis sträcka och hastighet), kan vi alltid räkna ut det tredje värdet (tid). 

(1): Om Emma kör en femtedel av sträckan på 2 minuter, betyder det att Emma kör hela sträckan på $5\cdot2\mathrm{\;minuter}=10\mathrm{\;minuter}$. Vi vet dock inte hur fort Emma kör, och vi vet inte om hon kör med konstant hastighet, och därför kan vi inte säga något om hur lång sträckan är. (1) är inte tillräckligt för att lösa uppgiften. 

(2): Här får vi veta att Emmas hastighet är konstant, vilket är användbart, men vi saknar fortfarande information om hur fort Emma kör, och hur lång tid det tar för Emma att åka sträckan. 

Tillsammans: Vi vet nu att Emma kör med konstant hastighet, och att hela sträckan tar tio minuter att passera. Vi vet dock fortfarande ingenting om vilken hastighet Emma håller. Om Emma kör en kilometer per minut, skulle sträckan vara sextio kilometer, men om Emma kör i en kilometer per tio minuter, är sträckan sex kilometer. (2) är inte tillräckligt för att lösa uppgiften. 

Vi kan hitta olika sträckor som uppfyller både kravet som ställts i (1) och i (2). Vi kan därför inte hitta något entydigt svar. (1) och (2) tillsammans är inte tillräckligt för att lösa uppgiften. 

Svar: E, ej genom båda påståendena. 

Provpass 3, fråga 24:

Hugo har en låda med knappar. Hur många knappar har Hugo i lådan?

(1) 28 knappar utgör 1/9 av alla knappar i lådan.

(2) Om 28 knappar plockas upp ur lådan, så utgör 56 knappar 25 % av antalet knappar som är kvar i lådan.

Tillräcklig information för lösningen erhålls

A: i (1) men ej i (2)
B: i (2) men ej i (1)
C: i (1) tillsammans med (2)
D: i (1) och (2) var för sig
E: ej genom de båda påståendena

(1): Påståendet säger att om alla Hugos knappar i lådan delas upp i nio högar, har vi 28 knappar i varje hög. Vi har nio högar med 28 knappar i varje, vilket innebär att Hugo har totalt $28\cdot9$ knappar i högen. Vi behöver inte beräkna $28\cdot9$, utan det räcker med att konstatera att det går att beräkna detta värde om vi skulle vilja. (1) ger tillräcklig information för att lösa uppgiften. 

(2): Här har vi en procentsats (25%) och en del (56 knappar). Delen, procentsatsen och det hela hänger ihop med formeln $\det \mathrm{hela}=\mathrm{procentsats}·\mathrm{delen}$. Om vi har två av dessa värden, kan vi hitta det tredje. Här har vi procentsatsen och delen, och vi kan därmed hitta hur stort det hela antalet är. (2) ger tillräcklig information för att lösa uppgiften. 

Svar: D, i (1) och (2) var för sig

Provpass 3, fråga 25:

En burk som är fylld till 70 % med socker väger 1 250 g. Hur mycket väger burken när den är tom?

(1) 1 dl socker väger 90 g.
(2) Burken rymmer 1,5 liter.

Tillräcklig information för lösningen erhålls

A: i (1) men ej i (2)
B: i (2) men ej i (1)
C: i (1) tillsammans med (2)
D: i (1) och (2) var för sig
E: ej genom de båda påståendena

Här gäller det att hålla isär volymmått och viktmått. Vi har fem obekanta värden; burkens volym, burkens vikt, samt sockrets volym, sockrets vikt, och sockrets vikt per volymenhet.

Vi vet att ${\mathrm{burk}}_{\mathrm{vikt}}+{\mathrm{socker}}_{\mathrm{vikt}}=1250 \mathrm{g}$. Vi vet även att ${\mathrm{burk}}_{\mathrm{volym}}·70 \%={\mathrm{socker}}_{\mathrm{volym}}$. 

Sockrets volym är lika med ${\mathrm{socker}}_{\mathrm{volym}}·{\mathrm{socker}}_{\mathrm{vikt} \mathrm{per} \mathrm{volym}}$.  

Om vi sätter ihop dessa ekvationer får vi att 

${\mathrm{burk}}_{\mathrm{vikt}}+\underset{\underset{{\mathrm{burk}}_{\mathrm{volym}}·70\%}{\underbrace{{\mathrm{socker}}_{\mathrm{volym}}}}·{\mathrm{socker}}_{\mathrm{vikt} \mathrm{per} \mathrm{volym}}}{\underbrace{{\mathrm{socker}}_{\mathrm{vikt}}}}=1250 \mathrm{g}$

Vi kan förenkla detta till: 

${\mathrm{burk}}_{\mathrm{vikt}}+{\mathrm{burk}}_{\mathrm{volym}}·70\%·{\mathrm{socker}}_{\mathrm{vikt} \mathrm{per} \mathrm{volym}}=1250 \mathrm{g}$

Om vi har två av dessa värden, kan vi beräkna det tredje värdet. Låt oss nu se om något av påståendena kan ge oss tillräckligt med information för att hitta burkens volym. 

(1): Här får vi veta sockrets vikt per volymenhet. Vi saknar dock fortfarande burkens volym (eller burkens vikt, men då är vi redan klara med uppgiften). (1) ger inte tillräcklig information för att lösa uppgiften. 

(2): Här får vi information om hur stor burken är. Vi saknar dock fortfarande sockrets vikt per volymenhet. (2) ger inte tillräcklig information för att lösa uppgiften. 

Tillsammans: Om vi kombinerar påståendena har vi både sockrets vikt per volym, och burkens volym. Vi har då en ekvation med en obekant (burkens vikt), och vi kan beräkna burkens vikt med hjälp av denna ekvation. 

Svar: C, i (1) tillsammans med (2).

Provpass 3, fråga 26:

Lea har en stensamling som består av 60 stenar. Varje sten är antingen slät eller inte slät. Varje sten är dessutom antingen ljus eller mörk. Lea har 24 mörka stenar. Hur många släta stenar har Lea i sin samling?

(1) 12 av de mörka stenarna är inte släta.

(2) Lea har lika många ljusa släta stenar som mörka släta stenar.

Tillräcklig information för lösningen erhålls

A: i (1) men ej i (2)
B: i (2) men ej i (1)
C: i (1) tillsammans med (2)
D: i (1) och (2) var för sig
E: ej genom de båda påståendena

Här är det lämpligt att göra en tabell: 

$\begin{array}{cccc}& \underline{\mathrm{slä}}\underline{\mathrm{t}}& \underline{\mathrm{inte} \mathrm{slät}}& \overline{)\mathrm{Summa}}\\ \overline{)\mathrm{ljus}}& \boxed{}& \boxed{}& \boxed{\overline{)}}\\ \overline{)\mathrm{mörk}}& \boxed{}& \boxed{}& \boxed{\overline{)}}\\ \overline{\mathrm{Summa}}& \overline{\boxed{}}& \overline{\boxed{}}& \overline{)\overline{}}\end{array}$

I ytterkanterna (raden längst ned, och kolumnen längst till höger) skrivs summan av värdena i respektive rad/kolumn. I det nedre högra hörnet skrivs totalsumman.

Totalt har Lea 60 stenar, varav totalt 24 stenar är mörka. Vi kan sätta in dessa värden i tabellen: 

$\begin{array}{cccc}& \underline{\mathrm{slä}}\underline{\mathrm{t}}& \underline{\mathrm{inte} \mathrm{slät}}& \overline{)\mathrm{Summa}}\\ \overline{)\mathrm{ljus}}& \boxed{}& \boxed{}& \boxed{\overline{)}}\\ \overline{)\mathrm{mörk}}& \boxed{}& \boxed{}& \overline{)24}\\ \overline{\mathrm{Summa}}& \overline{\boxed{}}& \overline{\boxed{}}& \overline{)\overline{60}}\end{array}$

(1): Om tolv av de mörka stenarna inte är släta, måste $24-12=12$ av de mörka stenarna vara släta. Vi sätter in dessa siffror i tabellen: 

$\begin{array}{cccc}& \underline{\mathrm{slä}}\underline{\mathrm{t}}& \underline{\mathrm{inte} \mathrm{slät}}& \overline{)\mathrm{Summa}}\\ \overline{)\mathrm{ljus}}& \boxed{}& \boxed{}& \boxed{\overline{)}}\\ \overline{)\mathrm{mörk}}& 12& 12& \overline{)24}\\ \overline{\mathrm{Summa}}& \overline{\boxed{}}& \overline{\boxed{}}& \overline{)\overline{60}}\end{array}$

Vi vet nu hur många mörka släta stenar som finns, men inte hur många ljusa släta stenar Lea har. (1) ger inte tillräcklig information för att lösa uppgiften. 

(2): Vi kan kalla antalet släta mörka stenar för a. Vi vet nu med hjälp av denna information att antalet ljusa släta stenar också är a. Dock vet vi inte vad a är. (2) ger inte tillräcklig information för att lösa uppgiften. 

Tillsammans: (1) har gett oss att Lea har tolv mörka släta stenar, och (2) ger oss att Lea har lika många ljusa släta stenar. Totalt har då Lea $12+12=24$ släta stenar. 

Svar: C, i (1) tillsammans med (2).

Provpass 3, fråga 27:

Sidlängderna i en triangel är a, b och c. Är triangeln liksidig?

(1) a = b

(2) c ≠ a

Tillräcklig information för lösningen erhålls

A: i (1) men ej i (2)
B: i (2) men ej i (1)
C: i (1) tillsammans med (2)
D: i (1) och (2) var för sig
E: ej genom de båda påståendena

(1): Om två sidor är lika långa, kan triangeln vara liksidig, men sidan c skulle också kunna ha en annan längd än a och b. Vi kan därför inte säkert säga om triangeln är liksidig eller inte. (1) ger inte tillräcklig information för att lösa uppgiften. 

(2): Om två av sidorna inte är lika långa, är alla tre sidor inte lika långa, vilket är kravet för att en triangel ska vara liksidig. Vi kan därför säkert säga att triangeln inte är liksidig. (2) ger tillräcklig information för att lösa uppgiften. 

Svar: B, i (2) men ej i (1).

Provpass 3, fråga 28:

$x+y=36$ 

Vilket värde har xy?

(1) x och y är två på varandra följande udda heltal.

(2) x och y är två positiva heltal.

Tillräcklig information för lösningen erhålls

A: i (1) men ej i (2)
B: i (2) men ej i (1)
C: i (1) tillsammans med (2)
D: i (1) och (2) var för sig
E: ej genom de båda påståendena

(1): På varandra följande (hel-)tal är tal som kommer direkt efter varandra på tallinjen, exempelvis 12 och 13, eller -4 och -3. På varandra följande udda heltal är nästan samma sak, men jämna nummer hoppas över. -13 och -11 är på varandra följande udda heltal, och det är även 7 och 9. 

Om vi säger att x är det udda heltalet $a$, är då y det udda heltalet $a+2$. $x+y$ kan då skrivas som $a+(a+2)=2a+2$. Denna summa ska vara lika med 36. Vi har då en ekvation med endast en obekant, a. Ekvationen kan därför lösas, och då får vi ut exakta värden på x och y. Om vi vet vad x och y är, kan vi bestämma vad $xy$ är. (1) ger tillräcklig information för att lösa uppgiften. 

(2): Om x och y är positiva heltal finns det många uppsättningar tal som uppfyller att $x+y=36$. Några exempel är 18 och 18, 35 och 1, 34 och 2, 33 och 3, m.fl. Dessa olika uppsättningar ger olika värden på $xy$, och vi kan därför inte bestämma $xy$ med endast denna information. (2) ger inte tillräcklig information för att lösa uppgiften. 

Svar: A, i (1) men ej i (2)

Provpass 3, fråga 29-31:

Kurvan nedan illustrerar hur antalet fall av indragen studiehjälp förändrades i ett specifikt län under de tre redovisade läsåren. Vilket är länet?

A: Gotlands län

B: Hallands län

C: Örebro län

D: Västernorrlands län

Markera de fyra aktuella länen i diagrammet som visar de olika länen: 

Exakta siffror saknas i uppgiftsdefinitionen, men vi kan läsa av att värdet ska öka ordentligt från året 2009/10 till 2010/11, och sedan minska lite grann från året 2010/11 till 2011/12. Det är totalsiffrorna vi är intresserade av.

Gotland: Ökningen mellan år ett och två är 1. Gotland är inte ett möjligt alternativ. 

Halland: Ökningen mellan år ett och två är ordentlig, men minskningen mellan år två och tre är minimal. Halland är inte ett möjligt alternativ. 

Örebro län: Ökningen mellan år ett och två är ordentlig, och minskningen mellan år två och tre än mindre än ökningen mellan år ett och två. Örebro är ett möjligt alternativ. 

Västernorrlands län: Antalet indragna bidrag ökar mellan både år ett och två, och år två och tre. Västernorrlands län är inte ett möjligt alternativ. 

Svar: C, Örebro län.

Hur många fler män än kvinnor fick sitt extra tillägg indraget under den redovisade treårsperioden?

A: 205

B: 310

C: 735

D: 1501

Markera kolumnerna som rör extra tillägg: 

Addera antalet män respektive kvinnor som fått sina bidrag indragna. Desto mer du avrundar siffrorna, desto enklare blir det att räkna, men försök att avrunda några siffror uppåt och några nedåt, så att ditt svar inte blir för skevt: 

Män: 

$416\to 400456\to 450+629\to 6501500$

Kvinnor:

$196\to 200251\to 250+319\to 320770$

Skillnaden mellan könen är ungefär $1500-770=730$. Svarsalternativ C, 735, ligger mycket nära vår uppskattning. 

Svar: C, 735.

Vilket län avses?

Läsåret 2010/11 fick fler än 250 kvinnor sin studiehjälp indragen. Läsåret 2009/10 fick mer än dubbelt så många män som kvinnor sin studiehjälp indragen.

A: Östergötlands län

B: Skåne län

C: Västra Götalands län

D: Västmanlands län

Markera de relevanta länen i diagrammet som redovisar indragen studiehjälp per län:

Det första kravet, att fler än 250 kvinnor ska ha fått sin studiehjälp indragen år 2010/11, kräver inga beräkningar, och är därför lämplig att börja med. Detta krav innebär att vi kan utesluta och Västmanlands län. 

Då kvarstår tre län, och krav två är att mer än dubbelt så många män som kvinnor fick sin studiehjälp indragen år 2009/10. Det dubbla antalet kvinnor som fått sin studiehjälp indragen i vardera län är: 

Östergötlands län: 201 -> 402

Skåne län: 906 -> 1812

Västra Götalands län: 760 -> 1520

Det enda län som uppfyller kravet om könsfördelning är Östergötlands län. 

Svar: A, Östergötlands län

Provpass 3, fråga 32-34:

Jämför den löphastighet som ger en fotbollsspelare maximal puls före en tränings- period med den löphastighet som ger en otränad person maximal puls. Hur stor är skillnaden?

A: 2 km per timme

B: 5 km per timme

C: 7 km per timme

D: 10 km per timme

Otränade personer har en infylld romb som markör, och fotbollsspelare före träningsperioden har en icke ifylld cirkel som markör. Markera maxpulsen för dessa personer i pulsdiagrammet. Dra en linje ned till den horisontella axeln (km per timme): 

Skillnaden är $20-15=5$. 

Svar: B, 5 km per timme.

Hur mycket energi från fett omsätts under en timmes medelhårt arbete?

A: 1200kJ

B: 1600kJ

C: 2000kJ

D: 2400kJ

Energi från fettförbränning visas i de mörkgrå staplarna i det övre diagrammet. Dra en linje från fettstapeln för medelhårt arbete till den vertikala axeln (kJ per min): 

Fettförbränningen per minut är cirka 20 kJ per minut. Eftersom det går sextio minuter på en timme är förbränningen i kJ $20\cdot60=1200$. 

Svar: A, 1200 kJ.

Hur mycket större är den totala energiförbrukningen vid hårt arbete än vid lätt arbete?

A: 45 kJ per minut

B: 60 kJ per minut

C: 75 kJ per minut

D: 90 kJ per minut

Dra linjer från staplarna för lätt respektive hårt arbete till den vertikala axeln (kJ per min): 

Här har vi dragit linjer från stapeln över sockerförbränning. Nu måste vi först beräkna hur stor den totala energiförbrukningen  är, vilket vi kan göra med hjälp av procentsatserna som finns utskrivna.

Vid hårt arbete utgörs 98% av energiförbrukningen av socker, vilket motsvarar cirka nittio kJ per minut. 98% är mycket nära 100%, och vi kan lägga på kanske fem kJ per minut från fettförbränning, vilket ger totalförbränningen 95 kJ per minut vid hårt arbete. 

Vid lätt arbete utgörs 50% av energiförbrukningen av socker, vilket motsvarar strax under 20 kJ per minut. Fettförbränningen är lika stor (strax under 20 kJ). Vi kan därför avrunda summan till cirka 35 kJ per minut. 

Skillnaden mellan hårt och lätt arbete är $95 \mathrm{kJ} \mathrm{per} \mathrm{minut}-35 \mathrm{kJ} \mathrm{per} \mathrm{minut}=60 \mathrm{kJ} \mathrm{per} \mathrm{minut}$. 

Svar: B, 60 kJ per minut.

Provpass 3, fråga 35-37:

Vilket land hade den största fiskeflottan vad avser antal fartyg, tonnage respektive maskinkraft?

A: Grekland, Spanien respektive Italien

B: Grekland, Frankrike respektive Spanien

C: Spanien, Spanien respektive Frankrike

D: Spanien, Frankrike respektive Italien

• Gällande antal fartyg kan svaret antingen vara Grekland eller Spanien.
• Gällande tonnage kan svaret antingen vara Frankrike eller Spanien.
• Gällande maskinkraft svaret antingen vara Frankrike, Italien eller Spanien.

För att spara tid, försök använda uteslutningsmetoden när du löser uppgiften!

För varje post, markera de länder som finns angivna i svarsalternativen: 

Antal fartyg: EL (Grekland) har en lite större andel. Detta utesluter alternativ C och D.

Tonnage: ES (Spanien) har en större andel. Detta utesluter alternativ B.

Vi behöver inte undersöka posten maskinkraft, eftersom endast alternativ A kvarstår. För säkerhets skull kan vi kontrollera att Italien verkligen har störst maskinkraft (alternativ A), vilket är sant – Italiens andel är aningen större än Frankrikes och Spaniens andelar.

Svar: A, Grekland, Spanien respektive Italien

Sammanlagt hur stor andel av fartygen inom EU:s fiskeflotta kom från något av länderna Portugal, Finland eller Storbritannien?

A: 1/10

B: 1/6

C: 1/5

D: 1/3

Markera de tre länderna i diagrammet över antal fartyg: 

Här det finns det tid att spara genom att inte konvertera andelarna i diagrammet till siffror. Rita upp fyra cirklar som är ungefär lika stora som cirkeln i diagrammet. Dela sedan upp den första cirkeln i tio bitar (alternativ A), den andra cirkeln i sex bitar (alternativ B), den tredje i fem bitar (alternativ C) och den fjärde i tre bitar (alternativ D):

Jämför nu andelarna i diagrammet med en bit från de cirklar du ritat upp. 

A, 1/10: Portugals flotta ensamt är större än en tiondel. Alternativ A är inte ett möjligt alternativ. 

D, 1/3: De tre ländernas andelar tillsammans är inte ens en fjärdedel. Alternativ D är inte ett möjligt alternativ. 

Då står det mellan 1/6 och 1/5. 

Skillnaden mellan dessa bråk är väldigt liten, men om vi lägger ihop diagrammets bitar och jämför noggrant med våra ritade bitar kan vi se att 1/6 är aningen för lite, medan 1/5 passar perfekt. 

Svar: C, 1/5.

Jämför Frankrike och Portugal vad avser den maskinkraft som respektive lands fiskeflotta hade. Hur mycket mer maskinkraft hade Frankrike?

A: 106 000 kW

B: 325 000 kW

C: 685 000 kW

D: 1 032 000 kW

Markera länderna i diagrammet: 

Här finns det återigen tid att spara genom att räkna geometriskt. Vi kan börja med att mäta sträckan mellan de två yttre hörnen av respektive cirkelsektor: 

^{(under provet bör vi självklart mäta i centimeter eller millimeter, men eftersom bilderna i denna tråd ser olika stora ut på olika enheter, mäter vi nedan med färgade streck)}

Mätning av sträckorna ger oss att Frankrikes flotta har cirka tre gånger större maskinkraft än Portugals.

Nu kan vi återanvända våra cirklar från föregående uppgift: 

Sjättedelsmåttet är det som passar bäst, och vi kan uppmäta att Frankrikes flotta är cirka tre fjärdedelar av en en sjättedel, vilket motsvarar: 

$\frac{3}{4}·\frac{1}{6}=\frac{3}{24}$

Frankrikes flotta utgör cirka 3/24 av hela EU:s fiskeflotta. Eftersom Portugals flotta hade cirka en tredjedel så stor maskinkraft, innebär detta att Portugals flotta utgör cirka 1/24 av hela EU:s fiskeflotta. 

Uppgiften efterfrågar hur mycket större maskinkraft Frankrikes flotta har än Portugals flotta. I andelar blir detta: 

$\underset{\mathrm{Frankrikes} \mathrm{andel}}{\underbrace{\frac{3}{24}}}-\underset{\mathrm{Portugals} \mathrm{andel}}{\underbrace{\frac{1}{24}}}=\frac{2}{24}=\frac{1}{12}$

Frankrikes andel minus Portugals andel är lika med en tolftedel av hela flottans maskinkraft. Totalsiffran är 7 287 224 kW. Vi avrundar den siffran till 7 200 000 kW. 

$7 200 000·\frac{1}{12}=\frac{7 200 000}{12}$

Tolvans gångertabell börjar med 12, 24, 36, 48, 62, 72, ... Tolv gånger sex är 72, det kan vi använda! 

$\frac{7 200 000}{12}=\frac{12·6·100 000}{12}=600 000$

Eftersom vi avrundat nedåt från 7 287 224 kW till 7 200 000 kW vill vi avrunda svaret uppåt. Vår uppskattning är 600 000 kW, och svarsalternativ C, 685 000 kW, verkar därför bra. 

Svar: C, 685 000 kW.

Provpass 3, fråga 38-40:

Hur många fler barn dog bland 1–2-åringar än bland 5–9-åringar under perioden 1751–60?

A:  28 per tusen barn

B:  37 per tusen barn

C:  44 per tusen barn

D:  51 per tusen barn

Markera årtiondet i diagrammet över dödlighet för äldre barn. Den heldragna linjen motsvarar 1–2-åringar, och den streckade (inte prickade) linjen motsvarar 5–9-åringar: 

Dödligheten per tusen barn i åldrarna 1–2 var 50, och bland barn i åldrarna 5–9 cirka 14. Det ger skillnaden $50-14=36$ dödsfall per tusen barn. Det närmaste svaret är B, 37 per tusen barn. 

Svar: B, 37 per tusen barn. 

Studera tioårsperioden 1931–40. Vilka betingelser gav störst chanser att överleva spädbarnsåldern?

A: Att vara pojke, att vara född i staden och att vara född inom äktenskapet.

B: Att vara flicka, att vara född på landsbygden och att vara född inom äktenskapet.

C: Att vara pojke, att vara född på landsbygden och att vara född utom äktenskapet.

D: Att vara flicka, att vara född i staden och att vara född inom äktenskapet.

Markera tioårsperioden i respektive diagram, och läs av vilket alternativ som gav lägre dödlighet: 

Flickor hade lägre spädbarnsdödlighet i tioårsperioden.

Landsbygdsfödda  hade lägre spädbarnsdödlighet i tioårsperioden.

Inomäktenskapliga barn hade lägre spädbarnsdödlighet i tioårsperioden.

De bästa faktorerna var alltså att vara en flicka född i en stad, inom ett äktenskap. Detta motsvarar alternativ D. 

Svar: D, Att vara flicka, att vara född i staden och att vara född inom äktenskapet.

Vilken av de redovisade tioårsperioderna var spädbarnsdödligheten som störst?

A: 1761–70

B: 1771–80

C: 1801–10

D: 1811–20

Vi har inte fått något diagram som anger en enda spädbarnsdödlighet, som vi kan läsa av några siffror ifrån, men vi har ett diagram som visar spädbarnsdödlighet för pojkar och flickor. Vi kan anta att det föddes ungefär lika många pojkar som flickor i dessa tidsintervall (något som inte kan sägas för inom-/utomäktenskapliga barn eller för barn födda på landsbygd/i stadsmiljö). Snittdödligheten kommer då att ligga ganska precis mittemellan grafen för pojkars och flickors dödlighet. 

Markera årtalen i diagrammet över spädbarnsdödlighet och kön: 

Snittdödligheten minskar stadigt, och är som störst vid 1761–70. 

Svar: A, 1761–70. 

1. Vilket svarsalternativ är lika med uttrycket $a(a+a)$?

A: $3a$

B: $a^2+a$

C: $2a^2$

D: $a^3$

Eftersom alla svarsalternativ står i utvecklad form, bör vi försöka utveckla parentesen i uttrycket: 

$a\left(a+a\right)=a\left(2a\right)=a·2a=2a^2$

Svar: C, $2a^2$.

2. Hur stor är vinkeln v?

A: 14°

B: 32°

C: 38°

D: 46°

Det finns flera sätt att beräkna vinkeln v på, men de utgår från att en triangels vinkelsumma är 180°. Här visar vi två olika sätt. 

Metod ett: I botten av den stora triangeln finns vinkeln 102°. Den har en supplementvinkel (två vinklar som tillsammans är 180 grader stora) som ligger "vägg i vägg" med den, och denna vinkel är då $180°-102°=78°$. 

Den mindre triangeln till vänster inuti den stora, har därför vinklarna v, 78° och 64°. Dessa tre vinklar ska summera till 180°. 

$v+78°+64°=180°$

$v+142°=180°$

$v=180°-142°=38°$

Metod två: Inuti den stora triangeln finns två mindre trianglar. Den högra av dessa har en obestämd vinkel. Eftersom vinkelsumman ska vara 180°, kan vi räkna ut att denna vinkel måste vara $180°-46°-102°=32°$. 

Den stora triangeln har nu tre vinklar: v, (64°+32°) samt 46°. Totalt ska vinkelsumman vara 180°, vilket ger ekvationen:

$v+(64°+32°)+46°=180°$

$v+142°=180°$

$v=180°-142°=38°$

Svar: C, 38°.

3. Två butiker säljer äpplen. I butik A kostar äpplena 5 kr/st. I butik B är styckepriset 20 procent lägre än i butik A. Hur många fler äpplen kan man köpa för 100 kr i butik B jämfört med i butik A?

A: 4

B: 5

C: 10

D: 20

Tjugo procent av fem kronor är en krona. Äpplena i butik B kostar därmed fyra kronor per äpple. 

För hundra kronor kan vi köpa $\frac{100 \mathrm{kr}}{5 \mathrm{kr}/\mathrm{äpple}}=20 \mathrm{äpplen}$ i butik A, och i butik B kan vi handla $\frac{100 \mathrm{kr}}{4 \mathrm{kr}/\mathrm{äpple}}=25 \mathrm{äpplen}$ för samma summa. 

Skillnaden är $25-20=5$ äpplen. 

Svar: B, 5.

4. Antag att $2(p+150)=400$. Vilket värde har uttrycket $4p-200$?

A: 0

B: 300

C: 900

D: 1 200

En bra början är att utveckla vänsterledet $2(p+150)$: 

$2\left(p+150\right)=2·p+2·150=2p+300$

Vi kan därmed skriva om $2(p+150)=400$ som $2p+300=400$, vilket kan förenklas till $2p=100$. 

Nu efterfrågas värdet av uttrycket $4p-200$. Eftersom $2p$ hade värdet 100, har $4p$ värdet 200. $4p-200$ har därför värdet $200-200=0$. 

Svar: A, 0.

5. $P=(-1;0)$

$M=(3;3)$

M är mittpunkten på sträckan PQ. Vilka koordinater har punkten Q?

A: $(-5; -3)$

B: $(1; 1,5)$

C: $(5; 6)$

D: $(7; 6)$

Mittpunkten mellan två koordinater $(a,b)$ och $(c,d)$ beräknas genom att beräkna medelvärdet av x-koordinaterna respektive y-koordinaterna. I detta fall har vi punkterna $(-1,0)$ och Q, som vi kan kalla $(x,y)$. 

Mittpunkten på sträckan PQ ska då varaM, vilket ger oss ekvationen: 

$\left(\frac{-1+x}{2}, \frac{0+y}{2}\right)=\left(3,3\right)$

Ett lättare sätt att skriva detta på, är att omvandla koordinaterna till två separata ekvationer, en för x-koordinaten och en för y-koordinaten.

x-koordinaten: 

$$\begin{gathered} \frac{-1+x}{2}=3 \\ -1+x=3·2 \\ x=7 \end{gathered}$$

y-koordinaten: 

$$\begin{gathered} \frac{0+y}{2}=3 \\ y=3·2=6 \end{gathered}$$

Q har därmed koordinaterna $(7,6)$. 

Ett annat sätt att tänka på är att titta på avståndet mellan P och M. Eftersom M ligger mittemellan P och Q, ska avståndet mellan P och M vara lika långt som avståndet mellan M och Q. Vi kan därför ta avståndet mellan P och M, och addera till M, så kommer vi till Q. 

Avståndet i x-led är 4, och avståndet i y-led är 3. Det ger oss att $Q=(3+4,\;3+3)=(7,6)$. 

Denna metod går fortare, men det är större risk att tappa bort sig bland punkterna. 

Svar: D, $(7; 6)$

6. Vilket svarsalternativ är störst?

A: $\sqrt{50}$

B: $2\sqrt{25}$

C: $5\sqrt{10}$

D: $10\sqrt{5}$

Om vi kan skriva om alla svarsalternativ så att de endast inkluderar kvadratrötter (som alternativ A gör), är det lättare att jämföra dem. Det gäller att $a\sqrt{b}$ kan skrivas som $\sqrt{a^{2}b}$. Denna omskrivningsmetod ger oss alternativen: 

A: $\sqrt{50}$

B: $\sqrt{100}$

C: $\sqrt{250}$

D: $\sqrt{500}$

Det gäller för rotuttryck att om $\sqrt{a}<\sqrt{b}$ så är även $a<>$. Därför är alternativ D det största uttrycket. 

Svar: D, $10\sqrt{5}$

7. Vilket värde har x om $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+1}=3$?

A: $-\frac{2}{3}$

B: $-\frac{1}{3}$

C: $\frac{1}{3}$

D: $\frac{2}{3}$

Det går att prova respektive alternativ genom att sätta in alternativet istället för x i ekvationen, men det går fortare att lösa ekvationen för hand: 

$$\begin{gathered} \frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+1}=3 \\ \frac{2}{x+1}=3 \\ 2=3·\left(x+1\right) \\ 2=3x+3 \\ 3x=-1 \\ x=-\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Svar: B, $-\frac{1}{3}$. 

8. Vad är $3\cdot10^5+3\cdot10^5$?

A: $6\cdot10^5$

B: $3\cdot10^6$

C: $3\cdot10^{10}$

D: $6\cdot10^{10}$

Vi har två likadana termer, vilket innebär att vi kan genomföra omskrivningen:

$3·{10}^5+3·{10}^5=2·\left(3·{10}^5\right)$

Multiplikation går att utföra i vilken ordning som helst. Det är ingen skillnad mellan $\left(x·y\right)·z$ och $x·\left(y·z\right)$. Vi kan därför multiplicera ihop tvåan och trean, och får då svaret $6\cdot10^5$. 

Svar: A, $6\cdot10^5$.

9. Vad är medelvärdet av de tre talen $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$ och $\frac{1}{8}$?

A: $\frac{1}{4}$

B: $\frac{8}{3}$

C: $\frac{1}{14}$

D: $\frac{7}{24}$

Medelvärdet av de tre talen kan beräknas med uppställningen

$\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{8}}}{3}$

Vi behöver först skriva täljaren på ett gemensamt bråkstreck. Minsta gemensamma nämnare är åtta, vilket ger oss täljaren $\frac{4}{8}+\frac{2}{8}+\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$. 

Medelvärdet blir då $\frac{ {\displaystyle \frac{7}{8}} }{3}=\frac{7}{8·3}=\frac{7}{24}$. 

Svar: D, $\frac{7}{24}$.

10. $f(x)=8x+1$

Vad är ett möjligt värde på f(x) om x är ett heltal?

A: –31

B: –17

C: 15

D. 32

Om x är ett heltal, kommer $8x$ vara ett jämnt heltal, och därmed kommer $8x+1$ att vara ett udda tal. Vi kan därför utesluta alternativ D direkt. 

Nu kan vi sätta respektive alternativ lika med $8x+1$‚ och se om det finns någon lösning där x är ett heltal: 

• Alternativ A, -31:
  
  $$\begin{gathered} 8x+1=-31 \\ 8x=-32 \\ x=-4 \end{gathered}$$

Här har vi vårt svar, men för säkerhets skull kan vi även undersöka om B och/eller C ger något heltalsvärde på x: 

• B, -17: 
  
  $$\begin{gathered} 8x+1=-17 \\ 8x=-18 \\ x=-\frac{18}{8}=-\frac{9}{4} \end{gathered}$$
  B ger inte ett heltalsvärde på x
• C, 15:
  
  $$\begin{gathered} 8x+1=15 \\ 8x=14 \\ x=\frac{14}{8}=\frac{7}{4} \end{gathered}$$
  C ger inte ett heltalsvärde på x.

Svar: A, -31.

11. Vilket svarsalternativ ligger närmast $\frac{254}{13}$?

A: 18

B: 19

C: 20

D: 21

Här kan vi använda kort division, men det är nog enklare att försöka hitta svaret genom att använda multiplikation/addition med 13. 

$13\cdot10=130$. Då är $13\cdot20=260$, vilket är större än 254. $13\cdot19$, som ligger närmast 254 men som är mindre än 254, är lika med $260-13=247$. 

Ligger 247 eller 260 närmast 254? 

Avståndet mellan 254 och 247 på tallinjen är 7, medan avståndet mellan 254 och 260 på tallinjen är 6. 260 ligger alltså närmare 254, och därför vet vi att $13\cdot20$ ligger närmare 254 än $13\cdot19$. 

Svar: C, 20.

12. Hur lång är sträckan AE?

A: $\sqrt{43}$ cm

B: $\sqrt{45}$ cm

C: 7 cm

D: 8 cm

Här behöver vi använda Pythagoras sats upprepade gånger. Sträckan AC är $\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$ cm lång. 

Sträckan AD kan då beräknas till $\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}$ cm.

Slutligen är då sträckan AE lika med $\sqrt{3^2+{\left(\sqrt{34}\right)}^2}=\sqrt{9+34}=\sqrt{43}$ cm. 

Svar: A, $\sqrt{43}$ cm.

13. $a+8=b+4$

Kvantitet I: a

Kvantitet II: b

A: I är större än II

B: II är större än I

C: I är lika med II

D: informationen är otillräcklig

Ekvationen kan förenklas till $a+4=b$. Oavsett värde på a kommer b vara 4 större än a. Därför blir svaret: 

B, II är större än I.

14. Charlie har 8 eller 9 lådor med kritor. Varje låda innehåller 5, 6 eller 7 kritor.

Kvantitet I: Antalet kritor som Charlie har

Kvantitet II: 58

A: I är större än II

B: II är större än I

C: I är lika med II

D: informationen är otillräcklig

Kan vi hitta två olika, giltiga svar, som skulle ge olika svarsalternativ, är informationen inte tillräcklig. 

Det minimala antalet kritor Charlie kan ha kan beräknas genom att räkna med det minsta antalet lådor, med det minsta antalet kritor. Det är $$\begin{gathered} \underset{\mathrm{lådor}}{\underbrace{8}}·\underset{\mathrm{kritor}/ \\ \mathrm{låda}}{\underbrace{5}}=40 \end{gathered}$$ kritor totalt. 

Det maximala antalet kritor Charlie kan ha kan beräknas genom att räkna med det största antalet lådor, med det största antalet kritor. Det är $$\begin{gathered} \underset{\mathrm{lådor}}{\underbrace{9}}·\underset{\mathrm{kritor}/ \\ \mathrm{låda}}{\underbrace{7}}=63 \end{gathered}$$ kritor totalt.

Charlies antal kritor kan därmed vara både större och mindre än 58. Informationen är därmed inte tillräcklig. 

Svar: D, informationen är otillräcklig.

15. 

Kvantitet I: $\frac{4-3,14}{3}$

Kvantitet II: $\frac{1}{4}$

A: I är större än II

B: II är större än I

C: I är lika med II

D: informationen är otillräcklig

Här behöver vi skriva om bråken så att de har samma nämnare: 

$\frac{4\left(4-3,14\right)}{12}=\frac{16-4·3,14}{12}$ samt $\frac{3}{12}$. 

För att beräkna $4\cdot3,14$ enkelt kan vi dela upp decimaltalet: $3,14=3+0,1+0,04$. Vår produkt blir då $4·\left(3+0,1+0,04\right)=4·3+4·0,1+4·\frac{4}{100}=12+0,4+0,16=\mathbf{12}\mathbf{,}\mathbf{56}$

Är $16-12,56$ större eller mindre än 3? 12,56 är större än 12, men mindre än 13. $16-13=3$, så $16-12,56$ måste vara större än 3. 

Det betyder att kvantitet I är större än $\frac{3}{12}$, vilket är kvantitet II. 

Svar: A, I är större än II.

16. Ekvationen för den räta linjen i figuren kan skrivas på formen y=kx+m.

Kvantitet I: $k$

Kvantitet II: 2

A: I är större än II

B: II är större än I

C: I är lika med II

D: informationen är otillräcklig

k-värdet är linjens lutning, vilket motsvarar hur ökningen i y-led förhåller sig till ökningen i x-led. Om vi förflyttar oss ett steg åt höger på x-axeln i grafen, ökar y-värdet med en halv. k-värdet är därför en halv. 

Svar: B, II är större än I

17. Oscar går x km på y/3 timmar.
Peter går 6x km på 2y timmar.

Kvantitet I: Oscars medelhastighet

Kvantitet II: Peters medelhastighet

A: I är större än II

B: II är större än I

C: I är lika med II

D: informationen är otillräcklig

Medelhastighet beräknas med formeln $v=\frac{s}{t}$. Oscars medelhastighet är $\frac{x}{\left({\displaystyle \frac{y}{3}}\right)}=\frac{3x}{y}$ km/h. Peters medelhastighet är $\frac{6x}{2y}=\frac{3x}{y}$ km/h. 

Svar: C, I är lika med II.

18. Trianglarna ABC och DEF är rätvinkliga.

$x>y$

Kvantitet I: Arean av triangeln ABC

Kvantitet II: Arean av triangeln DEF

A: I är större än II

B: II är större än I

C: I är lika med II

D: informationen är otillräcklig

Pythagoras sats säger att en rätvinklig triangel med kateterna a och b, och hypotenusan c, uppfyller sambandet $a^2+b^2=c^2$. 

I denna uppgift har vi fått lite information om två sidor i respektive triangel, och en sida är helt okänd. 

Pythagoras sats ger sambanden

$x^2=z^2+{\left(BC\right)}^2$ respektive $y^2=z^2+{\left(EF\right)}^2$

Vi vet att x är större än y, vilket innebär att $x^2>y^2$, eftersom en längd alltid är positiv. Högerleden består av varsin summa av $z^2$ och respektive okänd sida i kvadrat. Eftersom $z^2$ är samma term i båda trianglar, måste skillnaden mellan x och y bero på längderna av dessa okända sidor BC och EF.

Eftersom x är större än y, måste därför sidan BC vara längre än sidan EF. Trianglarnas baser är lika stora, men höjden i DEF är lägre än i ABC. Därför är arean av triangeln ABC större än DEF:s area.

Svar:  A, I är större än II.

19. Medelvärdet av de fyra talen 10, 15, 25 och x är 12.

Kvantitet I: x

Kvantitet II: 0

A: I är större än II

B: II är större än I

C: I är lika med II

D: informationen är otillräcklig

Vi kan beräkna detta tal genom att ställa upp en ekvation med en medelvärdesberäkning: $\frac{10+15+25+x}{4}=12$. 

Ekvationslösning ger då att: 

$$\begin{gathered} \frac{10+15+25+x}{4}=12 \\ 10+15+25+x=48 \\ x=48-10-15-25=-2 \end{gathered}$$

Svar: B, II är större än I.

20.

$f(x)=2x+\frac{1}{5}$

$g(x)=\frac{1}{2}x+5$

Kvantitet I: x-värdet för den punkt där grafen till f skär x-axeln

Kvantitet II: x-värdet för den punkt där grafen till g skär x-axeln

A: I är större än II

B: II är större än I

C: I är lika med II

D: informationen är otillräcklig

Här finns det två olika metoder. Den ena är att resonera sig till ett svar, och den andra är att lösa ekvationerna $f(x)=0$ respektive $g(x)=0$. 

Resonemang: $f(x)$ skär y-axeln nära noll $(0;0,2)$, medan $g(x)$ skär y-axeln mycket längre upp $(0,5)$. Båda funktioner har positiva lutningar, och kommer därför att skära x-axeln vid något negativt x-värde. Skillnaden är dock hur fort det går mellan skärningen med y-axeln, och skärningen med x-axeln (dvs. hur många steg vi behöver i x-led från skärningen med y-axeln, innan vi slår i x-axeln). $f(x)$ har en mycket kraftigare lutning, och kommer därför att gå fortare nedåt än $g(x)$. Dessutom har $f(x)$ en mycket kortare sträcka i y-led än $g(x)$ har. En kortare sträcka att färdas, och en högre hastighet, innebär att $f(x)$ kommer att skära x-axeln vid ett högre x-värde än $g(x)$. 

Ekvationslösning: 

$f(x)$ skär x-axeln då x är lika med: 

$$\begin{gathered} \stackrel{f\left(x\right)}{\overbrace{2x+\frac{1}{5}}}=0 \\ 2x=-\frac{1}{5} \\ x=-\frac{1}{10} \end{gathered}$$

$g(x)$ skär x-axeln då x är lika med: 

$$\begin{gathered} \stackrel{g\left(x\right)}{\overbrace{\frac{x}{2}+5}}=0 \\ \frac{x}{2}=-5 \\ x=-10 \end{gathered}$$

Svar: A, I är större än II

21.

Kvantitet I: x

Kvantitet II: y

A: I är större än II

B: II är större än I

C: I är lika med II

D: informationen är otillräcklig

Vi kan börja med att sätta ut några fler vinklar i figuren: 

a och vinkeln 95° är supplementvinklar, vilket betyder att deras summa är 180°. Det innebär att $a=180°-95°=85°$. Nu kan vi beräkna värdet av vinkeln x. Vinkelsumman i en triangel är alltid 180°, vilket ger oss ekvationen: 

$$\begin{gathered} 40°+85°+x=180° \\ x=180°-40°-85°=55° \end{gathered}$$

Vinkeln y är lite knepigare, eftersom vi inte vet hur stor vinkeln b är. 

Vi vet att hela triangeln har vinkelsumman 180°, vilket ger oss sambandet:

$$\begin{gathered} 55°+40°+b+y=180° \\ b+y=180°-55°-40°=85° \end{gathered}$$

Den nedre triangeln inuti den stora triangeln har samma krav på sig angående vinkelsumma, vilket ger oss sambandet: 

$$\begin{gathered} b+y+95°=180° \\ b+y=180°-95° \\ b+y=85° \end{gathered}$$

vilket inte ger oss någon ny information.

Om b är 40°, blir y 45° och mindre än x, men om b är 10° är y 75° och större än x. Vi kan därför inte säga något definitivt om hur kvantiteterna förhåller sig till varandra. 

Svar: D, informationen är otillräcklig.

22. x och y är positiva tal.

$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=1$

Kvantitet I: x

Kvantitet II: y

A: I är större än II

B: II är större än I

C: I är lika med II

D: informationen är otillräcklig

Först av allt bör vi notera att varken x eller y får vara lika med noll, då dessa värden ger odefinierade bråk i vänsterledet. Därefter finns det olika metoder för att angripa uppgiften.

Vi kan vi börja med att skriva vänsterledet med en gemensam nämnare: 

$\frac{y-x}{xy}=1$

Nu kan vi försöka lösa ut y: 

$$\begin{gathered} \frac{y-x}{xy}=1 \\ y-x=xy \\ y-xy=x \\ y(1-x)=x \\ y=\frac{x}{1-x} \end{gathered}$$

Eftersom både x och y är positiva tal, måste x ligga emellan noll och ett. Genom att prova med några olika x kan vi sluta oss till att y borde vara större än x, oavsett värde på x, men det är inget egentligt bevis. 

En bättre metod är att flytta ett bråk till högerledet:

$\frac{1}{x}=1+\frac{1}{y}$

Vi kan utifrån det dra slutsatsen att $\frac{1}{x}$ är större än $\frac{1}{y}$. Eftersom x och y är positiva tal kan vi förlänga olikheten $\frac{1}{x}>\frac{1}{y}$ med xy, för att få olikheten 

$$\begin{gathered} \frac{1}{x}·xy>\frac{1}{y}·xy \\ y>x \end{gathered}$$

Svar: B, II är större än I.

Provpass 5, fråga 23:

De fyra personerna Alf, Bea, Carl och Dinah bildar en kö. Var och en av dem har en enfärgad mössa och alla fyra mössorna har olika färg. Vilken färg har mössan på personen som står sist i kön?

(1) Alf har en gul mössa. Bea har en röd mössa. Carl står näst sist i kön.

(2) Carl har en svart mössa. Dinah har en vit mössa och står mellan Bea och Carl.

Tillräcklig information för lösningen erhålls

A: i (1) men ej i (2)
B: i (2) men ej i (1)
C: i (1) tillsammans med (2)
D: i (1) och (2) var för sig
E: ej genom de båda påståendena

Ett sätt att snabbt utesluta att ett eller flera påståenden är tillräckliga är att försöka hitta flera olika möjligheter som uppfyller påståendet. Om ett påstående känns otillräckligt är det en bra metod att prova.  

(1): Om Alf står sist i kön, är mössan på personen som står sist i kön gul. Om Bea står sist är mössan röd. Vi har två olika möjligheter, och därför räcker inte påstående (1). 

(2): Dinah står mellan Bea och Carl. Vi vet dock inte om Bea eller Carl står bakom Dinah. Bea – Dinah – Carl – Alf är en möjlig ordning med detta krav, och då är mössan på den person som står sist okänd. Om Alf står sist är mössans färg också okänd, men eftersom varje person har en egen färg på mössan, kommer Alf och Bea att ha olika färg på sina mössor, och vi har då minst två olika möjligheter, och därför räcker inte påstående (2). 

Tillsammans: Om Carl står näst sist i kön (påstående ett), och Dinah står mellan Bea och Carl (påstående två), måste de tre stå i ordningen (sist till först) Carl – Dinah – Bea. Då kvarstår endast platsen längst bak, och där står Alf. Alfs mössa är gul (påstående ett), och vi kan då besvara frågan. 

Svar: C, i (1) tillsammans med (2)

Provpass 5, fråga 24:

Hur många års åldersskillnad är det mellan Frida och Martin?

(1) Idag är Fridas ålder 3 gånger Martins ålder.

(2) Om 9 år är Frida dubbelt så gammal som Martin.

Tillräcklig information för lösningen erhålls

A: i (1) men ej i (2)
B: i (2) men ej i (1)
C: i (1) tillsammans med (2)
D: i (1) och (2) var för sig
E: ej genom de båda påståendena

Här kommer vi att behöva använda oss av ekvationer. Vi kallar Fridas ålder f, och Martins ålder m. 

(1): Detta påstående kan översättas till $f=3\cdot m$. Här har vi också många möjliga åldersuppsättningar, exempelvis om Frida är tre år och Martin ett år (2 års åldersskillnad), eller om Frida är tolv år och Martin är fyra år (åtta års åldersskillnad). Påstående ett är inte tillräckligt för att besvara frågan. 

(2): Om nio år är Frida $f+9$ år gammal, och Martin $m+9$ år gammal. Om nio år ska Frida vara dubbelt så gammal som Martin. Detta kan skrivas som $f+9=2(m+9)$. Vi förenklar denna ekvation: 

$$\begin{gathered} f+9=2(m+9) \\ f+9=2m+18 \\ f=2m+9 \end{gathered}$$

Nu har vi återigen en ekvation som kan satisfieras av många olika åldersuppsättningar. Om Frida är sjutton år och Martin är fyra år, är åldersskillnaden tretton år, men om Frida är 25 år och Martin är åtta år, är åldersskillnaden sjutton år. Påstående två är inte tillräckligt för att besvara frågan. 

Tillsammans: 

Från de två påståendena har vi fått ekvationerna $f=3m$ samt $f=2m+9$. Vi har två ekvationer på formen $f=...$. Frida är alltid lika gammal som Frida. Det påståendet kan skrivas som ekvationen $f=f$. Men vi har nu två alternativa uttryck för f. Eftersom dessa alternativa uttryck båda är lika med f, kan vi byta ut våra f mot respektive uttryck, och förenkla: