Högskoleprovet hösten 2016, provpass 3, uppgift 18

Summan 

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+...+\frac{1}{2^n}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{2}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n=\frac{1/2}{1-1/2}=1$

är en geometrisk serie med absolut konvergens. I ditt fall så är ju bråktermerna färre än i den oändliga summan ovan. Alltså måste summan $s$ av bråken vara mindre än 1, d.v.s $s<1$. Du får då kvantitet I till $2(1+s)$ och om $s<1$ så måste I < II.

Tack!

Ja du kan på en gång se att kvantitet I är mindre än 4 eftersom det som står innanför parentesen är mindre än 2.

Det är det för att summan 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 är mindre än 1.

Om man inte inser det omedelbart så kan du tänka så här:

Tänk dig att du har en hel pizza (1).

Av den tar du först halva (1/2). Då är det en halv pizza kvar (1/2).

Sen tar nästa person hälften av det som är kvar (1/2 * 1/2 = 1/4). Då är det en fjärdedels pizza kvar (1/4).

Sen tar nästa person hälften av det som är kvar (1/2 * 1/4 = 1/8). Då är det en åttondels pizza kvar (1/8).

och så vidare...

När sjätte personen tar hälften av det som är kvar (1/2 * 1/32 = 1/64) så är det fortfarande 1/64 kvar.

Alltså är 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 = 1 - 1/64, vilket är mindre än 1.

Tack så jätte mycket!