Högre ordning DE, välja ansats

Har problem med att avsluta min uppgift att lösa denna DE:

$y\text{'}\text{'}\text{'}-y=e^x+\sin x$

Den homogena lösningen och första partikulärlösningen har jag fått ut och de är korrekta enligt facit:

$y_h=C_1{e}^x+\left(C_2\cos \left(\frac{\sqrt{3}x}{2}\right)+C_3\sin \left(\frac{\sqrt{3}x}{2}\right)\right)e^{-x/2}$

$y_{p,1}=\frac{x}{3}{e}^x$

Det är när jag ska ta fram yp2, alltså för sin x som jag får problem.

Min lösningsmetod är att införa en hjälpekvation

$$\begin{gathered} u\text{'}\text{'}\text{'}-u=e^{ix} \\ u=z{e}^{ix} \end{gathered}$$

$y_{p,2}=Im\left(u\right)$

Derivera u och sätt in utvecklingen i ovanstående hjälpekvation

$$\begin{gathered} u=z{e}^{ix} \\ u\text{'}=(z\text{'}+zi)e^{ix} \\ u\text{'}\text{'}=(z\text{'}\text{'}+2z\text{'}i-z)e^{ix} \\ u\text{'}\text{'}\text{'}=(z\text{'}\text{'}\text{'}+3z\text{'}\text{'}i-3z\text{'}-zi)e^{ix} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} u\text{'}\text{'}\text{'}-u=(z\text{'}\text{'}\text{'}+3z\text{'}\text{'}i-3z\text{'}-zi-z)e^{ix}=z{e}^{ix}\iff \\ z\text{'}\text{'}\text{'}+3z\text{'}\text{'}i-3z\text{'}-zi-z=z\iff \\ z\text{'}\text{'}\text{'}+3z\text{'}\text{'}i-3z\text{'}-zi-2z=0 \end{gathered}$$

Nu är det jag känner tveksamhet. Normalt sett vill jag sätta en formel för z här i stil med 

$z=A+Bi$

utan x, eftersom det är samma gradtal i VL som i HL.

Skulle jag då sätta in detta variabelbyte i ovanstående ekvation får jag

$$\begin{gathered} -(A+Bi)i-2(A+Bi)=-Ai+B-2A-2Bi= \\ B-2A-(A+2B)i=0 \end{gathered}$$

Men eftersom jag bara har en ekvation för två obekanta så kan jag ej lösa ut det. Detta gav ju inte mycket, jag skulle kunna ha med x när jag sätter utveckling för z, men det ska ju, vad jag fattat det som, inte behövas?

Har jag ens inlett problemet rätt? Går det att lösa ekvationen för z som en karaktäristisk ekvation? (Det känns lockande då det står = 0, men när jag försökt med sånt tidigare har det aldrig fungerat).