Högre grad ekvationer

PS. Multiplikationstecken skrivs som:

\cdot

exempel: $\cdot$

DS.

tomast80 skrev :

PS. Multiplikationstecken skrivs som:

\cdot

exempel: $\cdot$

DS.

Tack :). text $\cdot$. Och måste jag alltid lämna ett space efter dollardollar ?

Har du skrivit av uppgiften korrekt? Det känns som det fattas åtminstone ett kommatecken. 

$$ space först i uttrycket brukar ge error. Det är ofta bra med space sist i uttrycket. 

Smaragdalena skrev :

Har du skrivit av uppgiften korrekt? Det känns som det fattas åtminstone ett kommatecken. 

$$ space först i uttrycket brukar ge error. Det är ofta bra med space sist i uttrycket. 

Hej Smaragdalena!

Så du menar dollardollar (uttryck skriven direkt utan space) SPACE dollar dollar?

$/blablabla+ /bla$?

Hej!

Om $w$ är en rot till tredjegradspolynomet, så ska $w^2$ vara en rot till det okända polynom som uppgiften vill att du ska konstruera. 

Albiki

dajamanté skrev :

Förut skrev du:

"Bestäm utan att lösa ekvationen vars rötter är kvadraterna på rötterna till $x^3-3x^2+4x-2=0$." Ser du att det fattas några ord?

Just det, sorry. Grejen att uppgiften lät mystisk att jag har inte ens reagerat när jag mystifierade den vidare. Så vad betyder "bestäm den ekvation vars rötter är kvadraterna på rötterna till..."?

Jag skulle börja med att kolla om x = 1 eller x = -1  (eller något annat lätt värde) är lösning till tredjegradsekvationen. (Att x = 0 inte är en lösning ser jag direkt.)

dajamanté skrev :

Så vad betyder "bestäm den ekvation vars rötter är kvadraterna på rötterna till..."?

Albiki förklarade det här.

Ah tack, jag såg inte! Jag ska läsa mina tråd försiktigare, det är nu flera ggr att jag har missat ett svar.

Jag ska prova med 1/-1, 2/-2 och 3/-3.

Det kan vara vettigt att pröva olika varianter av i också.

Men ska jag inte använda det:

a=−(p1+p2+p3)

b=p1*p2+p1*p3+p2*p3

c=−p1*p2*p3?

Nämen gud vad tråkigt. 

Jag Wolfram kom fram till att svaren var 1, 1+i och 1-i. Men nu måste jag konstruera en polynom.

$1^2$ kan jag hantera, däremot hur bygger jag en polynom med $(1+i)^2$ och $(1-i)^2$.

Det efterfrågas en polynom med tråkiga reella koefficienter, inte 2i eller -2i. (jo jag har glimpsat i faciten)

(jag kan inte få nog av dollar dollar :D!!!)

Om ett polynom till exempel har nollställena 0, 2, 4, 5 så har polynomet faktorerna x, (x - 2), (x - 4) och (x - 5).

Ett sådant polynom är alltså p(x) = x(x - 2)(x - 4)(x - 5).

Kommer du vidare nu?

Nej inte riktigt... Som Alibiki förklarade och du poänterade... jag måste upphöja uppfunna rötter till 2 för att få nya rötterna och bygga en polynom.

Wolfram har hittat åt mig dom tre efterfrågade rötterna till ursprungliga uttryck. Varför skulle jag bygga en polynom med dom nu?

dajamanté skrev :

Varför skulle jag bygga en polynom med dom nu?

Eftersom uppgiften ju gick ut på att formulera den ekvation som har just dessa rötter, enligt denna kommentar.

Om polynomet p(z) kan faktoriseras enligt ovan så har ekvationen p(z) = 0 just dessa nollställen.

Dvs om p(z) = k*(z - z1)(z - z2)(z - z3)... (z - zn) så har ekvationen p(z) = 0 rötterna z1, z2, z3, ...zn.

Vänta nu, är det inte kvadrat av dessa rötter som jag måste använda? 

dajamanté skrev :

$1^2$ kan jag hantera, däremot hur bygger jag en polynom med $(1+i)^2$ och $(1-i)^2$.

Du har skrivit själv vilka faktorer du ska använda.

Jo jo precis, men $(1+i)^2$ blir väl 2i. Och $(1-i)^2$! blir -2i.Och jag tror att polynomet jag måste komma fram till har reella koefficienter.

Fast du ska ju inte lösa ekvationen. Så du vill bestämma koefficienterna utan att komma fram till rötterna $x^3 - 3x^2 + 4x - 2 = 0$.

Nu har du ju att

$p_1 + p_2 + p_3 = 3$

$p_1p_2 + p_1p_3 + p_2p_3 = 4$

$p_1p_2p_3 = 2$

Nu gäller det att

$9 = (p_1 + p_2 + p_3)^2 = p_1^2 + p_2^2 + p_3^2 + 2(p_1p_2 + p_1p_3 + p_2p_3) = p_1^2 + p_2^2 + p_3^2 + 2\cdot 4$

Detta ger alltså

$p_1^2 + p_2^2 + p_3^2 = 1$

Sedan har du att

$4^2 = (p_1p_2 + p_1p_3 + p_2p_3)^2 = p_1^2p_2^2 + p_1^2p_3^2 + p_2^2p_3^2 + 2(p_1^2p_2p_3 + p_1p_2^2p_3 + p_1p_2p_3^2)$

$= p_1^2 p_2^2 + p_1^2p_3^2 + p_2^2p_3^2 + 2\cdot 3 \cdot 2$

Alltså är

$p_1^2p_2^2 + p_1^2p_3^2 + p_2^2p_3^2 = 4$

Nu är sen

$p_1^2 p_2^2 p_3^2 = 4$

Så alltså får man ekvationen

$x^3 - x^2 + 4x - 4 = 0$

Inatt kommer jag nog drömma om att jag skriver p_1p_2p_3 i latex.

Oh tack! Det var så gulligt av dig att p1 p2 p3 så långt!

Jag tänkte ge upp... alltså jag har bevisat att jag var en åsna bara, utan att fatta den minsta. Men din uppoffring kommer inte vara för Java. Jag ska gå igenom din svar ordentligt imorgon bitti.

Jag tror att jag kommer att drömma om MathML, dollardollar counter slash dollardollar. Det var den roligaste med frågor idag!

dajamanté skrev :Men din uppoffring kommer inte vara för Java. Jag ska gå igenom din svar ordentligt imorgon bitti.

Du är nog ute efter uttrycket att din ansträngning inte är förgäves (men din variant är roligare, särskilt eftersom jag håller på och gör kaffe just nu).

Du får ta en kopp Java och kolla på uträkningen imorgon bitti :) Men bara så du vet så använder jag likheten

$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc)$

några gånger i den där beräkningen, och det är alltså de tre första ekvationerna jag håller på kvadrera.

Haha jo, jag var efter "förgäves", men jag var osäker för jag hörde det bara en gång. Så eftersom vi pratade så mycket om LaTex och MathML idag, jag tänkte att Java kunde påbjudas :D!

Ok, en kopp Java tidigt och jag fokuserar på det! 

Stokastisk skrev :

Du får ta en kopp Java och kolla på uträkningen imorgon bitti :) Men bara så du vet så använder jag likheten

$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc)$

några gånger i den där beräkningen, och det är alltså de tre första ekvationerna jag håller på kvadrera.

Jag försökte att göra om din beräkning. Spännande, jag hade ingen aning att $(a + b + c)^2$ blev $a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc)$. Det är en slags Pascals rektangel :)

Jag tror att jag börjar att se en glimpse på sanningen, men jag måste nog p_1p_2p_3 två eller tre gånger till så att det landar hem.