högre exponenter med bas i (Matematik/Matte 4/Komplexa tal)

Skriv ut några fler $i^k$ . Kanske de första 10 eller 20, mest för att få en tydligare känsla för mönstret.

i=i
i^2=-1
i^3=i^2 * i= -1*i=-i
i^4=i^2 * i^2 = (-1) * (-1)=1

Men kanske lika viktigt (använd potenslagarna):
i^4=(i^2)^2=(-1)^2=1
i^10=(i^4)^2 * (i^2)=(1)^2 * (-1)=1*(-1)=-1

i^1024=(i^4)^256=1^256=1
i^1027=(i^4)^256 * i^3=1*(-i)=-i

Eller så får du se på mönster

Det gäller att $1024 = 2^{10}$ och potensregel $a^{b^{c}} = (a^{b})^{c}$ gäller även när basen $a$ är ett komplext tal.

Det är en cykel om fyra. Du har att:

$\begin{matrix} i^{k} = 1 & om k = 0, 4, 8, . . . \\ i^{k} = i & om k = 1, 5, 9, . . . . \\ i^{k} = - 1 & om k = 2, 6, 10, . . . \\ i^{k} = - i & om k = 3, 7, 11, . . . \end{matrix}$

Således kan du kontrollera om din potens tillhör någon av dessa kategorier.

$i^{2^{10}} = (i^{2} i^{2})^{5} = (- 1 * - 1)^{5} = 1^{5}$

Kanske är ett specialfall jag inte ser men jag tror Albikis och Affes inlägg om potenslagarna behöver utvecklas lite.

SeriousCephalopod skrev:
Kanske är ett specialfall jag inte ser men jag tror Albikis och Affes inlägg om potenslagarna behöver utvecklas lite.

Man kan repetera här:

https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/tal/potenser

...så sammanfattas det med:

Affe Jkpg skrev:
SeriousCephalopod skrev:
Kanske är ett specialfall jag inte ser men jag tror Albikis och Affes inlägg om potenslagarna behöver utvecklas lite.
Man kan repetera här:
https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/tal/potenser
...så sammanfattas det med:

Vad säger potenslagarna om $a^{b^{3}}$ ? Vi har två alternativ:

$a^{b^{3}} = a^{b \cdot b \cdot b}$ eller $a^{b^{3}} = a^{3 b}$

Vilket är rätt?

(Detta rör specifikt Albikis inlägg då detta implicerar att $i^{2^{11}} = (i^{2})^{11}$ vilket inte är sant. Det fungerar enbart i detta fall med $2^{10}$ för att vår exponent har basen 2 och jämn exponent)

Ebola skrev:
Affe Jkpg skrev:
SeriousCephalopod skrev:
Kanske är ett specialfall jag inte ser men jag tror Albikis och Affes inlägg om potenslagarna behöver utvecklas lite.
Man kan repetera här:
https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/tal/potenser
...så sammanfattas det med:
Vad säger potenslagarna om $a^{b^{3}}$ ? Vi har två alternativ:
$a^{b^{3}} = a^{b \cdot b \cdot b}$ eller $a^{b^{3}} = a^{3 b}$
Vilket är rätt?

(Detta rör specifikt Albikis inlägg då detta implicerar att $i^{2^{11}} = (i^{2})^{11}$ vilket inte är sant. Det fungerar enbart i detta fall med $2^{10}$ för att vår exponent har basen 2 och jämn exponent)

Exempel:

$(10^{2})^{3} = (100)^{3} = 10^{6} (10^{2})^{3} = (10)^{2 * 3} = 10^{6}$

Ebola skrev:
Det är en cykel om fyra. Du har att:

$\begin{matrix} i^{k} = 1 & om k = 0, 4, 8, . . . \\ i^{k} = i & om k = 1, 5, 9, . . . . \\ i^{k} = - 1 & om k = 2, 6, 10, . . . \\ i^{k} = - i & om k = 3, 7, 11, . . . \end{matrix}$
Således kan du kontrollera om din potens tillhör någon av dessa kategorier.

yes okej okej, men om jag har en exponent av högre slag, bör jag då dela upp talet enligt potenslagarna för att se om det till slut är upphöjt till 5 säger vi

exempelbis $i^{25} = (i^{5})^{5}$ så vet jag att då kommer detta bli = i eftersom $i^{5}$ =i

är det så jag ska tänka?

Man kan använda potenslagarna för att skriva om uttrycken på ett sådant sätt så att man kan använda den typen av resonemang, ja.

Det Ebola antyder, och som man ser om man skriver ut sekvensen, är att man får en sekvens med period 4 och då är det enda som spelar roll vilken rest exponenten har vid division med 4. Så talet 25 har tillexempel resten 1 vid division med 4

$25 = 24 + 1 = 6 \cdot 4 + 1$

Så applicerar på $i^k$ så kommer man få en faktor som är 1 (den som motsvarar 6*4-termen) och en till faktor med mindre exponent som bestämmer värdet

$i^{25} = i^{6 \cdot 4 + 1} = i^{6\cdot 4}\cdot i^1 = (i^4)^6 \cdot i^1 = (1)^6 \cdot i^1 = i^1 = i$

Maremare skrev:
Ebola skrev:
Det är en cykel om fyra. Du har att:

$\begin{matrix} i^{k} = 1 & om k = 0, 4, 8, . . . \\ i^{k} = i & om k = 1, 5, 9, . . . . \\ i^{k} = - 1 & om k = 2, 6, 10, . . . \\ i^{k} = - i & om k = 3, 7, 11, . . . \end{matrix}$
Således kan du kontrollera om din potens tillhör någon av dessa kategorier.
yes okej okej, men om jag har en exponent av högre slag, bör jag då dela upp talet enligt potenslagarna för att se om det till slut är upphöjt till 5 säger vi
exempelbis $i^{25} = (i^{5})^{5}$ så vet jag att då kommer detta bli = i eftersom $i^{5}$ =i
är det så jag ska tänka?

Jo det tycks vara rätt sätt att tänka!
Man kan göra en enkel kontroll med polära koordinater.
När man multiplicerar fem komplexa tal ( i⁵), multiplicerar man deras belopp och summerar deras vinklar.
Man kan då skriva:

$z = i^{5} = 1 ∠ (5 \frac{π}{2}) = 1 ∠ (2 π + \frac{π}{2}) = 1 ∠ \frac{π}{2} = i z^{5} = (i^{5})^{5} = (i)^{5} = i$

Affe Jkpg skrev:
Ebola skrev:
Vad säger potenslagarna om $a^{b^{3}}$ ? Vi har två alternativ:
$a^{b^{3}} = a^{b \cdot b \cdot b}$ eller $a^{b^{3}} = a^{3 b}$
Vilket är rätt?

(Detta rör specifikt Albikis inlägg då detta implicerar att $i^{2^{11}} = (i^{2})^{11}$ vilket inte är sant. Det fungerar enbart i detta fall med $2^{10}$ för att vår exponent har basen 2 och jämn exponent)
Exempel:
$(10^{2})^{3} = (100)^{3} = 10^{6} (10^{2})^{3} = (10)^{2 * 3} = 10^{6}$

Du missar min poäng. I din felaktiga operation

$i^{2^{10}} = (i^{2} i^{2})^{5}$

antar du att den ena av mina exempel är den rätta trots att så inte är fallet. Vi kan testa operationen på mitt exempel inom parentes:

$i^{2^{11}} \neq i^{2 \cdot 11} = (i^{2})^{11} = - 1$

Detta stämmer naturligtvis inte eftersom $i^{2^{11}} = 1$

Ebola skrev:
Affe Jkpg skrev:
Ebola skrev:
Vad säger potenslagarna om $a^{b^{3}}$ ? Vi har två alternativ:
$a^{b^{3}} = a^{b \cdot b \cdot b}$ eller $a^{b^{3}} = a^{3 b}$
Vilket är rätt?

(Detta rör specifikt Albikis inlägg då detta implicerar att $i^{2^{11}} = (i^{2})^{11}$ vilket inte är sant. Det fungerar enbart i detta fall med $2^{10}$ för att vår exponent har basen 2 och jämn exponent)
Exempel:
$(10^{2})^{3} = (100)^{3} = 10^{6} (10^{2})^{3} = (10)^{2 * 3} = 10^{6}$
Du missar min poäng. I din felaktiga operation
$i^{2^{10}} = (i^{2} i^{2})^{5}$
antar du att den ena av mina exempel är den rätta trots att så inte är fallet. Vi kan testa operationen på mitt exempel inom parentes:
$i^{2^{11}} \neq i^{2 \cdot 11} = (i^{2})^{11} = - 1$
Detta stämmer naturligtvis inte eftersom $i^{2^{11}} = 1$

Använde jag för få steg?

$i^{2^{10}} = i^{4^{5}} = (i^{4} {)^{5} = (i^{2} i^{2})}^{5} = (- 1 * - 1)^{5} = 1^{5} = 1$

Konstiga parenteser ovan...men man kan få stå ut med värre.... :-)

Affe Jkpg skrev:
Använde jag för få steg?
$i^{2^{10}} = i^{4^{5}} = (i^{4} {)^{5} = (i^{2} i^{2})}^{5} = (- 1 * - 1)^{5} = 1^{5} = 1$
Konstiga parenteser ovan...men man kan få stå ut med värre.... :-)

Nej, men du gör fel. Enda anledningen att det blir rätt är just för att det råkar bli så när exponenten har jämn bas och jämn exponent. Återigen, det du antar är att:

$a^{b^{c}} = (a^{b})^{c}$

Detta stämmer inte. Om du skriver in det där i Wolfram Alpha exempelvis kommer denna tro att du menar:

$a^{(b^{c})}$

Jämför exempelvis med en Gaussisk funktion $e^{x^{2}}$ , många studenter på universitetet som blint följer potenslagarna brukar skriva:

$e^{x^{2}} = e^{2 x}$

Detta är naturligtvis fel och det är en viktig skillnad.

@Affe Jkpg

Jämför potenslagarna med vad du faktiskt gör med uttrycken Affe. Ibland fastnar man i en konstig tankebana och det är inget underligt med det men här råkar den vara fel. Jag minns när jag råkade argumentera för exakta motsatsen till en verklig trend i periodiska systemet i 5 minuter innan jag snopet insåg att jag råkat vända uppochned på saker.

SeriousCephalopod skrev:
@Affe Jkpg
Jämför potenslagarna med vad du faktiskt gör med uttrycken Affe. Ibland fastnar man i en konstig tankebana och det är inget underligt med det men här råkar den vara fel. Jag minns när jag råkade argumentera för exakta motsatsen till en verklig trend i periodiska systemet i 5 minuter innan jag snopet insåg att jag råkat vända uppochned på saker.

Var "fastnar" vi i våra resonemang? Är det i någon av dessa två?

$2^{10} = 4^{5} i * i * i * i = i^{2} * i^{2} = i^{4}$

@Affe. Första halvan av Ebolas senaste inlägg.

Affe Jkpg skrev:

Var "fastnar" vi i våra resonemang? Är det i någon av dessa två?
$2^{10} = 4^{5} i * i * i * i = i^{2} * i^{2} = i^{4}$

Nej, frågan gäller om $a^b^c$ ska tolkas som

$(a^b)^c$ eller
$a^{(b^c)}$

Dvs gäller det att

$2^3^2=8^2=64$ eller
$2^3^2=2^9=512$

Du (och Albiki) påstår att det är 1 som gäller, men Ebola (och WolframAlpha) påstår att det är 2.

Se ursprungsfrågan här.

Yngve skrev:
Affe Jkpg skrev:
Var "fastnar" vi i våra resonemang? Är det i någon av dessa två?
$2^{10} = 4^{5} i * i * i * i = i^{2} * i^{2} = i^{4}$
Nej, frågan gäller om $a^b^c$ ska tolkas som
$(a^b)^c$ eller
$a^{(b^c)}$
Dvs gäller det att
$2^3^2=8^2=64$ eller
$2^3^2=2^9=512$
Du (och Albiki) påstår att det är 1 som gäller, men Ebola (och WolfranAlpha) påstår att det är 2
Se ursprungsfrågan här.

Jag trodde det var Maremare som ägde ursprungsfrågan:

….hur ska man veta att i¹⁰²⁴ = 1

Affe Jkpg skrev:
Jag trodde det var Maremare som ägde ursprungsfrågan:
….hur ska man veta att i¹⁰²⁴ = 1

Det vet man genom att dela exponenten med 4 och kolla vilken rest man får. Eftersom resten i detta fall är 0 så blir det 1 (Eller så gör man som Joculator gjorde i sitt inlägg).

Det du och Albiki tipsat om är inte rätt sätt att attackera problemet på och innehåller en vanlig missförståelse om hur potenser fungerar.

SeriousCephalopod skrev:
@Affe. Första halvan av Ebolas senaste inlägg.

Nu tror jag förstår vad du menar. Man kan t.ex. skriva:

$i^{1024} = (i * i * i * i)_{1} * (i * i * i * i)_{2} * . . . . * (i * i * i * i)_{256} = (i^{2} * i^{2})_{1} * (i^{2} * i^{2})_{2} * . . . . * (i^{2} * i^{2})_{256} = 1$

Affe Jkpg skrev:
Yngve skrev:
Affe Jkpg skrev:
Var "fastnar" vi i våra resonemang? Är det i någon av dessa två?
$2^{10} = 4^{5} i * i * i * i = i^{2} * i^{2} = i^{4}$
Nej, frågan gäller om $a^b^c$ ska tolkas som
$(a^b)^c$ eller
$a^{(b^c)}$
Dvs gäller det att
$2^3^2=8^2=64$ eller
$2^3^2=2^9=512$
Du (och Albiki) påstår att det är 1 som gäller, men Ebola (och WolfranAlpha) påstår att det är 2
Se ursprungsfrågan här.
Jag trodde det var Maremare som ägde ursprungsfrågan:
….hur ska man veta att i¹⁰²⁴ = 1

OK jag omformulerar mig, förhoppningsvis lite tydligare denna gång.

Du tolkar $a^b^c$ som $(a^b)^c$ , vilket inte är korrekt. Ebola tolkar det istället som $a^{(b^c)}$ , vilket är korrekt.

Orsaken till att jag länkade till Ebolas fråga (som jag lite slarvigt kallade "ursprungsfrågan") var för att du skulle läsa den igen och kanske då förstå ifrågasättandet av din tolkning.

Yngve skrev:

Du tolkar $a^b^c$ som $(a^b)^c$ , vilket inte är korrekt. Ebola tolkar det istället som $a^{(b^c)}$ , vilket är korrekt.

Det säkraste är att använda parenteser, så att det inte går att göra fel.

I alla fall är $a^{(b^c)} = (a^b)^c$ ingen giltig potensregel, även om man använder parenteser.

$(a^b)^c=a^{bc}$