Hjärnsläpp med ett intervall

Vad vill du veta? 

$x^2+y^2=r^2$ är en cirkel med mittpunkt i origo och radien $r$.

$[0,2\pi]$?

(du menar nog $r$ och $\theta$, inte x och y).

Laguna skrev:

Vad vill du veta? 

Jag ska använda olikheten sedan i Greens formel. Så undrar hur jag ska splittra upp de två integralerna. Vilka gränser får x respektive y?

woozah skrev:

$[0,2\pi]$?

 

(du menar nog $r$ och $\theta$, inte x och y).

Ahh måste man gå över till polära?

Är det en kurvintegral du skall beräkna? Vilken kurvintegral i så fall?

I vilket fall som helst är polära koordinater gynnsamma eftersom området är skillnaden mellan två cirklar.

AlvinB skrev:

Är det en kurvintegral du skall beräkna? Vilken kurvintegral i så fall?

I vilket fall som helst är polära koordinater gynnsamma eftersom området är skillnaden mellan två cirklar.

$\int_{dD} xy dx + (x^2-y^2)dy$

Ja, då är det klokt att använda Greens formel (eftersom vi inte har några diskontinuiteter).

Vad får du för partiella derivator? Kan du beskriva området i polära koordinater?

AlvinB skrev:

Ja, då är det klokt att använda Greens formel (eftersom vi inte har några diskontinuiteter).

Vad får du för partiella derivator? Kan du beskriva området i polära koordinater?

Fastnar med gränserna sen

Rita upp en bild över området, greens formel går ifrån en area integral till en linje integral! jag tror du får två linje integraler!

Du ser ju att området är mellan två cirklar med radie $1$ respektive $\sqrt{2}$ (cirkelns ekvation är ju $x^2+y^2=r^2$). Våra gränser för $r$ kommer alltså att vara $1\leq r\leq\sqrt{2}$.

Vår figur går ju hela varvet runt. Vad blir då gränserna för $\theta$?

AlvinB skrev:

Du ser ju att området är mellan två cirklar med radie $1$ respektive $\sqrt{2}$ (cirkelns ekvation är ju $x^2+y^2=r^2$). Våra gränser för $r$ kommer alltså att vara $1\leq r\leq\sqrt{2}$.

Vår figur går ju hela varvet runt. Vad blir då gränserna för $\theta$?

Ahhh jag tänkte det var ngn donut. 

Thetja in 0,2pi 

?:)

Just precis, $0\leq\theta\leq2\pi$.

AlvinB skrev:

Just precis, $0\leq\theta\leq2\pi$.

AlvinB skrev:

Just precis, $0\leq\theta\leq2\pi$.

Kan ju ej stämma 😳

Hej!

Planpolära koordinater $(r,v)$ är lämpliga här, men om du vill använda rektangulära koordinater $(x,y)$ så noterar du följande. 

• För fixerat värde på $x$ ligger $y$ i två disjunkta intervall $[\sqrt{1-x^2},\sqrt{2-x^2}]$ och $[-\sqrt{2-x^2},-\sqrt{1-x^2}].$ Vilka x-värden kan komma ifråga?
• För fixerat värdet på $y$ ligger $x$ i två disjunkta intervall $[\sqrt{1-y^2},\sqrt{2-y^2}]$ och $[-\sqrt{2-y^2},-\sqrt{1-y^2}].$ Vilka y-värden kan komma ifråga?

Jodå, integralen blir lika med noll!

Det kan du se redan på integralen:

$\displaystyle\iint_D x\ dxdy$

Eftersom integranden $f(x,y)=x$ är udda ($f(-x,y)=-f(x,y)$) och området är symmetriskt i $x$-led blir integralen noll.

Albiki skrev:

Hej!

Planpolära koordinater $(r,v)$ är lämpliga här, men om du vill använda rektangulära koordinater $(x,y)$ så noterar du följande. 

• För fixerat värde på $x$ ligger $y$ i två disjunkta intervall $[\sqrt{1-x^2},\sqrt{2-x^2}]$ och $[-\sqrt{2-x^2},-\sqrt{1-x^2}].$ Vilka x-värden kan komma ifråga?
• För fixerat värdet på $y$ ligger $x$ i två disjunkta intervall $[\sqrt{1-y^2},\sqrt{2-y^2}]$ och $[-\sqrt{2-y^2},-\sqrt{1-y^2}].$ Vilka y-värden kan komma ifråga?

Hur kan man 'veta' vad som är lämpligt i vissa fall osv? =)

Cirkelskivor och differenser av cirkelskivor beskrivs i allmänhet väldigt väl av polära koordinater. Algebraiskt kan man se det om man sätter in

$\{\begin{matrix}x=r\cos(\theta)\\y=r\sin(\theta)\end{matrix}$

i olikheten $1\leq x^2+y^2\leq2$:

$1\leq x^2+y^2\leq2$

$1\leq (r\cos(\theta))^2+(r\sin(\theta))^2\leq2$

$1\leq r^2\cos^2(\theta)+r^2\sin^2(\theta)\leq2$

$1\leq r^2(\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta))\leq2$

$1\leq r^2\leq2$

$1\leq r\leq\sqrt{2}$ (eftersom $r\geq0$)

Vi ser att olikheter med $x^2+y^2$ beskrivs väl av polära koordinater just för att vi får en trigonometrisk etta. Allmänt brukar $x^2+y^2$ vara ett tecken på att polära koordinater kan vara gynnsamma.

mrlill_ludde skrev:

Albiki skrev:

Hej!

Planpolära koordinater $(r,v)$ är lämpliga här, men om du vill använda rektangulära koordinater $(x,y)$ så noterar du följande. 

• För fixerat värde på $x$ ligger $y$ i två disjunkta intervall $[\sqrt{1-x^2},\sqrt{2-x^2}]$ och $[-\sqrt{2-x^2},-\sqrt{1-x^2}].$ Vilka x-värden kan komma ifråga?
• För fixerat värdet på $y$ ligger $x$ i två disjunkta intervall $[\sqrt{1-y^2},\sqrt{2-y^2}]$ och $[-\sqrt{2-y^2},-\sqrt{1-y^2}].$ Vilka y-värden kan komma ifråga?

Hur kan man 'veta' vad som är lämpligt i vissa fall osv? =)

Man har lärt sig matematik och känner igen matematiska mönster som exempelvis vad en cirkel är och vad en ellips är (jag tänker på begreppet geometrisk ort).