hjärnsläpp i en integralberäkning!

mrlill_ludde skrev:

ska beräkna $\int_2^{\infty} \frac{1}{x^2}dx$ och jag gör

$x^2=t, dx=2t dt$

$\int_2^{\infty} \frac{1}{t}2 dt = 2 \int_2^{\infty} \frac{1}{t} dt = 2 [\log(t)]^{\infty}_2$ 

 

men ... asså. det blir ju kefft? 

Kanske lite onödigt med variabelsubstitution här.

De primitiva funktionerna till 1/x^2 är ju helt enkelt -1/x + C.

Prova att differentiera x² = t en gång till.

Yngve skrev:

mrlill_ludde skrev:

ska beräkna $\int_2^{\infty} \frac{1}{x^2}dx$ och jag gör

$x^2=t, dx=2t dt$

$\int_2^{\infty} \frac{1}{t}2 dt = 2 \int_2^{\infty} \frac{1}{t} dt = 2 [\log(t)]^{\infty}_2$ 

 

men ... asså. det blir ju kefft? 

Kanske lite onödigt med variabelsubstitution här.

De primitiva funktionerna till 1/x^2 är ju helt enkelt -1/x + C.

Är så jäkla dålig på integrera xD öva öva övaaaa

Laguna skrev:

Prova att differentiera x² = t en gång till.

:( ser inte felet... 

mrlill_ludde skrev:

Är så jäkla dålig på integrera xD öva öva övaaaa

Om du kommer ihåg så var standardknepet för att derivera funktioner av typen $g(x)=\frac{k}{x^n}$ att skriva om funktionen som $g(x)=k\cdot x^{-n}$.

-----------

Du kan använda samma knep här, dvs skriv om $f(x)=\frac{1}{x^2}$ som $f(x)=x^{-2}$.

Sen kan du använda "antideriveringsregeln" att om $f(x)=x^{-n}$ så är de primitiva funktionerna $F(x)=-(n-1)\cdot x^{-(n-1)}$.

Yngve skrev:

[...]

Sen kan du använda "antideriveringsregeln" att om $f(x)=x^{-n}$ så är de primitiva funktionerna $F(x)=-(n-1)\cdot x^{-(n-1)}$.

Det borde väl ändå vara:

$F\left(x\right)=-\dfrac{x^{-(n-1)}}{n-1}+C$

AlvinB skrev:

Det borde väl ändå vara:

$F\left(x\right)=-\dfrac{x^{-(n-1)}}{n-1}+C$

Ja just det. Tack för påpekandet!

Jag var alldeles för upptagen med att få alla minustecken och parenteser på rätt plats så jag missade helt den saken 😀

mrlill_ludde skrev:

Laguna skrev:

Prova att differentiera x² = t en gång till.

:( ser inte felet... 

Med $x^2=t$ så har du att $x=\sqrt{t}$ och att $2xdx=dt$, dvs $2\sqrt{t}dx=dt$, dvs $dx=\frac{1}{2\sqrt{t}}dt$.

Men som sagt, det blir onödigt krångligt i detta fallet.