hjärnan burning

Det ser ut som du misstolkar summa tecknet. Exempelvis gäller det att

$\sum_{k=0}^4 k = 0 + 1 + 2 + 3 + 4$

$\sum _{k=0}^3\left(\begin{array}{c}3\\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right)$

Att skriva $\sum_{8}^{-30}$ blir inte korrekt helt enkelt, det finns ingen variabel man summerar över och inga gränser man summerar mellan.

Det är inte bara summa tecknet som jag misstolkar.

Blir det samma princip med $\sum _{k=0}^{-30}$ ?

Beteckningen $\sum_{k=0}^{-30}$ kan som bäst tolkas som den tomma summan, dvs det är lika med 0. Detta eftersom man summerar k från att börja med det som står nere under tecknet, sedan låter man k öka med 1 för varje term och "avbryter" när k är större än det som står upptill av tecknet. Eftersom k = 0 redan är större än -30 så är summan 0.

För att lösa uppgiften gör man såhär

$$\begin{gathered} {\left(\frac{1}{x^4}+x\right)}^{30}=\sum _{k=0}^{30}\left(\begin{array}{c}30\\ k\end{array}\right){\left(\frac{1}{x^4}\right)}^k{x}^{30-k} \\ =\sum _{k=0}^{30}\left(\begin{array}{c}30\\ k\end{array}\right)x^{-4k}{x}^{30-k}=\sum _{k=0}^{30}\left(\begin{array}{c}30\\ k\end{array}\right)x^{30-5k} \end{gathered}$$

Nu söker vi därför koefficienten framför $x^9$ vilket är då $30 - 5k = 9$, vilket saknar heltalslösning, därför är koefficienten framför $x^9$ lika med 0.

Om vi söker koefficienten framför $x^{10}$ så löser vi $30 - 5k = 10$, vilket har lösningen k = 4. Därför är koefficienten framför $x^{10}$ lika med $\binom{30}{4}$, lägg märke till att vi inte behöver ge det på uträknad form, vilket jag tolkar som att det räcker med att ge svaret som denna binomialkoefficient.

Oj tack!

Jag är nästan där. Du har rätt, jag blandar nog addition med allt resten i kapitlen.

Vad händer exakt i denna steg?

$\sum _{k=0}^{30}\left(\begin{array}{c}30\\ k\end{array}\right){\left(\frac{1}{x^4}\right)}^k{x}^{30-k}$

Vad står k exakt för i detta beräkning?

Binominalutvecklingen av $(a+b)^{300}$ består av 31 termer. Den första av dem är $a^{30}$, där koefficienten "osylig etta" kan skrivas som $\left(\begin{array}{c}30\\ 0\end{array}\right)$. Nästa term är $30a^{29}b$, där 30 kan skrivas som $\left(\begin{array}{c}30\\ 1\end{array}\right)$ och så vidare, och hela binominaluttrycket blir summan av alla 31 termerna, där det hela tiden är 30 "där uppe" och k "där nere" när man beräknar koefficienten. I ditt fall är det lite krångligare , eftersom det inte är a och b utan två uttryck med x i båda som finns i parentesen som skall upphöjas till 30.

k variabeln är bara där för att beskriva ur termerna ser ut, det är så att säga en "dummy-variabel".

Man skulle kunna skriva summan såhär istället

$\left(\begin{array}{c}30\\ 0\end{array}\right){\left(\frac{1}{x^4}\right)}^0{x}^{30-0}+\left(\begin{array}{c}30\\ 1\end{array}\right){\left(\frac{1}{x^4}\right)}^1{x}^{30-1}+\left(\begin{array}{c}30\\ 2\end{array}\right){\left(\frac{1}{x^4}\right)}^2{x}^{30-2}+\cdots +\left(\begin{array}{c}30\\ 30\end{array}\right){\left(\frac{1}{x^4}\right)}^{30}{x}^{30-30}$

Men för att skriva det mer kompakt och hur mönstret ser ut mer explicit så kan man skriva det med summa tecknet. Så man byter alltså ut k mot 0 för att få första termen, för att få andra termen byter man ut det mot 1, tredje termen mot 2 osv, sedan ska alla dessa termer summeras.

Oki, jag börjar att inse hur saker hänger ihop. Albiki svarade detta i en annan tråd. 

Hur vet jag hur jag nedbryter yttrucket? Jag menar när blir det:

$(a+b{)}^{300}\to a^k*b^{30-k}$

och när blir det

$(a+b{)}^{300}\to a^{30-k}*b^k$ ?

(Jag tolkar 300 i exponenten som 30)

Det är ju så smidigt så att

$\sum _{k=0}^{30}\left(\begin{array}{c}30\\ k\end{array}\right)a^k{b}^{30-k}=\sum _{k=0}^{30}\left(\begin{array}{c}30\\ k\end{array}\right)a^{30-k}{b}^k$

Det är alltså ingen skillnad på summorna. Man kan se det på följande vis

$\sum _{k=0}^{30}\left(\begin{array}{c}30\\ k\end{array}\right)a^k{b}^{30-k}=\sum _{k=0}^{30}\left(\begin{array}{c}30\\ 30-k\end{array}\right)a^k{b}^{30-k}$

Om vi nu bara byter $k \rightarrow 30 - k$ och vänder på summan så får man

$\sum _{k=0}^{30}\left(\begin{array}{c}30\\ k\end{array}\right)a^{30-k}{b}^k$

Om du är ovan med summa tecknet så kanske detta inte är uppenbart men testa med mindre summor och kolla vad som händer.

Stokastisk skrev :

(Jag tolkar 300 i exponenten som 30)

Hoppsan!

Ok jag testar.

Jag har börjat testa mig fram med ${\left(a+b\right)}^6$.

$\sum _{k=0}^6 \left(\begin{array}{c}6\\ k\end{array}\right) a^k{b}^{6-k}$, grejen är, det är ju två olika bas. Jag kan inte slå ihop de eller?

Eller är det :

$$\begin{gathered} \left(\begin{array}{c}6\\ 0\end{array}\right) a^0{b}^{6-0} \\ \left(\begin{array}{c}6\\ 1\end{array}\right) a^1{b}^{6-1} \end{gathered}$$

osv?

Jag skulle säga att det är $\left(\begin{array}{c}6\\ 0\end{array}\right)a^6{b}^{0 }+ \left(\begin{array}{c}6\\ 1\end{array}\right)a^5{b}^1 + \left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)a^4{b}^2...$ men ditt (andra) sätt går naturligtvis precis lika bra. Jag vill bara börja med den termen som bara är a-n, eftersom a står först i parentesen. Smaksak.

Om man tar ett mindre tal

$$\begin{gathered} (a+b{)}^3=\sum _{k=0}^3\left(\begin{array}{c}3\\ k\end{array}\right)a^k{b}^{3-k} \\ =\left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right)a^0{b}^3+\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)a^1{b}^2+\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)a^2{b}^1+\left(\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right)a^3{b}^0 \\ =\left(\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right)a^3{b}^0+\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)a^2{b}^1+\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)a^1{b}^2+\left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right)a^0{b}^3 \\ =\left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right)a^3{b}^0+\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)a^2{b}^1+\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)a^1{b}^2+\left(\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right)a^0{b}^3 \\ =\sum _{k=0}^3\left(\begin{array}{c}3\\ k\end{array}\right)a^{3-k}{b}^k=(a+b{)}^3 \end{gathered}$$

Man vänder alltså bra på summan och använder att $\binom{n}{k} = \binom{n}{n - k}$.

Det låter så lätt när NI skriver det, men när jag sitter själv framför pappret jag glömmer totalt vad jag  håller på med...

Tack, jag ska nog läsa klart kurslitteraturen och återkommer till detta med Pascals triangel.