Hjälp steg för steg

Du börjar lämpligen med att göra en grov skiss av funktionernas grafer.

Rita graferna till $f(x)=x^2$ och $g(x)=x$ i ett koordinatsystem och graferna till $h(x)=x^{0,5}=\sqrt{x}$ och $j(x)=x$ i ett annat.

Från dessa grafer kan du sedan lätt se hur du ska hitta integrationsgränserna och integranderna.

Visa dina skisser så hjälper vi dig vidare om du kör fast.

Det var just det, hur skissar jag upp i ett koordinatsystem?

Tack för svar!

Mvh Hanna

Om de inte har angivet integrationsgränserna betyder det att du ska bevisa att förhållandet råder oavsett vilka integrationsgränser som används.

Räkna ut vad de två areorna blir om du integrerar från "a" till "b" (a<b). Om de blir samma så är uppgiften löst.

EDIT: ...ignorera det här inlägget.

Har skissat upp första grafen, är integrationsgränsen från 0 till 1 där?

Börja med att rita. Att rita grafer är något du bör sett i tidigare kurser, du kan repetera bl.a här : skissa-grafer
Säg gärna till om du inte lyckas med denna del.

Kan du räkna ut arean mellan f(x)=x²  och g(x)=x  ?
Skriv ett uttryck för arean    (visa vad du får)
Integrationsgränserna hittar du genom att sätta f(x)=g(x).

x²=x
x²-x=0
x(x-1)=0                      nu ser du lätt gränserna, eller hur?

Jag har kommit såhär långt;

x1= 1 (övre integrationsgränsen)

x2=0 (undre)

${\int }_0^{1}x^3/3 = 1/3$ a.e

Är detta rätt?

Nej det stämmer inte. Gränserna är rätt men integranden (dvs funktionen du integrerar) är inte rätt.

Generellt sett gäller att arean mellan två funktioners grafer är lika med integralen av ("övre" funktionen - "undre" funktionen).

Den "övre" funktionen är den vars graf ligger ovanför den "undre" funktionens graf.

Komplettera din skiss över de två graferna med att markera området som ska areaberäknas. Visa bilden här.

Här finns en instruktion som beskriver hur man kan lägga in bilder på PA.

Är inte skärningspunkterna 0 och 1 här?

Jo det stämmer.

Men vilket område är det du ska areaberäkna egentligen? Kan du markera det i bilden?

Det rödmarkerade området?

Ja det stämmer.

Nu kan du använda det jag skrev i det här svaret, om hur man beräknar arean mellan två kurvor.

• Vilken är den övre funktionen?
• Vilken är den undre funktionen?

Får det inte till något annat än att den övre är 1 och undre är 0? 

Övre/undre funktionen, inte övre/undre gränsen.

Vilken av de två graferna ligger högst upp i det aktuella intervallet? Vilken ligger längst ner?

Nu förstår jag, tack! 

${\int }_1^0$ så? men sedan kommer jag inte vidare. Den primitiva funktionen till x²    blir x³/3 ? Ska jag göra något med g(x)=x?

Nej integralen ska gå från 0 till 1, men integranden (dvs det du integrerar) ska varken vara $x^2$ eller $x$ utan $x-x^2$.

Ser du varför?

Ja, men sedan ska man ju ta den primitiva funktionen till x² och x?  Och sätta in 0 och 1? Är jag helt ute och cyklar?

Innan du kan ta fram någon primitiv funktion måste du ta fram rätt integrand. Vilken funktion är överfunktion? Vilken funktion är underfunktion? Hur ser integranden ut? Du behöver ta ett steg i taget, utan att hoppa över något viktigt steg. Dessutom skall du inte ha med integraltecknet när du har gått över till den primitiva funktionen.

hannah123 skrev:

Ja, men sedan ska man ju ta den primitiva funktionen till x² och x?  Och sätta in 0 och 1? Är jag helt ute och cyklar?

Jag hoppas att du svarade ja på min fråga om du ser varför det just är $x-x^2$ som du ska integrera.

Det är viktigt att du verkligen förstår detta, för annars kommer du att få stora problem med liknande uppgifter framöver.

Vi förklarar annars mer än gärna så att det verkligen sitter hos dig.

Visa dina uträkningar, hoppa inte över några steg.

x - x² är graferna som jag ska integrera?

är detta rätt?

Får då svaret till 1/6 

Ja det är rätt!

Kan du nu beräkna arean mellan h(x) och j(x)?

Rita figur, markera området, bestäm gränserna, sätt upp och beräkna integralens värde.

Visa figuren, dina uträkningar och berätta hur du tänker så att vi ser att du har förstått själva metoden.

Stöter direkt på ett problem här, får inte fram någon graf när jag skriver in h(x)=x^0,5 ?

Pröva att skriva decimalpunkt istället för decimalkomma.

Det kan vara bra att veta att $x^{0,5}=\sqrt{x}$.

Det kan vara bra att träna på att skissa denna (och andra) graf(er) för hand. Om du sitter på ett matteprov så här du troligtvis inte tillgång till Geogebra eller andra onlineverktyg.

Om du är osäker kan du göra en liten värdetabell och markera punkterna i koordinatsystemet för x = 0, x = 0.5, x = 1 och x = 2. Sammanbind punkterna med en mjukt böjd kurva.

Alternativ lösning:

Jag har löst ut den, men den första svar är 1/6 och den andra är -1/6
är den rätt?!

Om det är rätt, hur likar de med varandra, och det finns ett negativt värde? 

Yngve skrev:

Det kan vara bra att veta att $x^{0,5}=\sqrt{x}$.

Det kan vara bra att träna på att skissa denna (och andra) graf(er) för hand. Om du sitter på ett matteprov så här du troligtvis inte tillgång till Geogebra eller andra onlineverktyg.

Om du är osäker kan du göra en liten värdetabell och markera punkterna i koordinatsystemet för x = 0, x = 0.5, x = 1 och x = 2. Sammanbind punkterna med en mjukt böjd kurva.

Jag har löst ut den, men den första svar är 1/6 och den andra är -1/6
är den rätt?!

Om det är rätt, hur likar de med varandra, och det finns ett negativt värde? 

Hej Sara Ha.

Jag vill kolla att hannah123 förstår hur areaberäkningen går till och jag vill därför inte spoila genom att förklara för mycket.

Om du är intresserad av och vill ha hjälp med samma uppgift så föreslår jag att du startar en egen tråd med din fråga.

Yngve skrev:

Hej Sara Ha.

Jag vill kolla att hannah123 förstår hur areaberäkningen går till och jag vill därför inte spoila genom att förklara för mycket.

Om du är intresserad av och vill ha hjälp med samma uppgift så föreslår jag att du startar en egen tråd med din fråga.

ok

Nej, jag förstår inte helt än men jag återkommer imorn! Tack Yngve!

OK. Återkom med en skiss över graferna där du markerat området som ska areaberäknas och där du pekat ut vilken graf som hör till den "övre" och vilken som hör till den "undre" funktionen.

Fråga om det du inte förstår.