Hjälp med potensekvation

Hej,

Jag ställdes nyligen inför frågan om huruvida denna ekvation är rätt eller inte, och jag svarade att den är korrekt, medan detta uppenbarligen är fel. Jag undrar om ni skulle kunna hjälpa mig förstå hur jag gör fel. Här är ekvationen jag fick ta ställning till:

$x^{2^{2^{3}}} = x^{64}$

Jag ansåg alltså att detta är sant, men det är det inte. Jag resonerade som så att jag kan börja med att applicera exponentieringsreglerna på de första två exponenterna enligt $a^{n} \times a^{m} = a^{n \times m}$ .

${(x^{2})}^{2} = x^{2 \times 2} = x^{4}$

Sedan tar jag och höjer $x^{4}$ med 3, vilket då ser ut som $x^{4^{3}}$ , och $4 \times 4 \times 4 = 64$ . Jag tänkte alltså inledningsvis att det är rätt. Nu förstår jag dock att det naturligtvis är orimligt att jag börjar med att multiplicera $x^{2 \times 2} = x^{4}$ , men plötsligt bestämmer mig för att höja 4 med 3 enligt $4^{3}$ , när jag naturligtvis borde göra samma sak jag gjorde med $x^{2 \times 2}$ och multiplicera 4 med 3 enligt $x^{4 \times 3} = x^{12}$ , vilket ju inte är $x^{64}$ .

Nu kan man ju tycka att jag förstått att jag gjorde fel, och hur jag gjorde fel, men jag tycker att det känns konstigt att man bara kan multiplicera exponenterna på detta vis? När allt kommer omkring är ju exponenter visserligen en form av multiplikation, men fyller en radikalt annorlunda roll än "vanlig" multiplikation som man stöter på allt som oftast i det vardagliga livet, såvida man inte räknar ränta på ränta på något lån eller så.

$2 \times 2 = 4$ enligt $x^{2 \times 2} = x^{4}$ , men det är ju också sant att $2^{2} = 4$ enligt ${(x^{2})}^{2} = x^{4}$ , så den inledande biten av problemlösningen kan kanske vara lite förrädisk om man inte vet vad man gör och varför, som jag. Det känns egentligen rimligt att ta $x^{4^{3}}$ , istället för $x^{4 \times 3}$ , eftersom vi inte "bara" multiplicerar, utan löser potenser här. Hur tänker jag egentligen fel?

Du vet att exponenten ska vara likamed 64. Så vad är 2*2*3?

Jag är inte säker på att jag hänger med på vad du skriver, men det gäller att ${{x^2}^2}^3={(x^2)^2}^3=(x^{2\cdot2})^3=x^{2\cdot2\cdot3}$

Yngve skrev:
Jag är inte säker på att jag hänger med på vad du skriver, men det gäller att ${{x^2}^2}^3={(x^2)^2}^3=(x^{2\cdot2})^3=x^{2\cdot2\cdot3}$

Är det du säger rätt Yngve?

om det står

$x^{y^{z}}$ så tolkar jag det som $x^{(y^{z})}$ vilket betyder att det ursprungliga vänsterledet skulle bli

x²⁵⁶

Yngve skrev:
Jag är inte säker på att jag hänger med på vad du skriver, men det gäller att ${{x^2}^2}^3={(x^2)^2}^3=(x^{2\cdot2})^3=x^{2\cdot2\cdot3}$

Tack för att du bekräftade vad som är rätt! :)

Jag är nog otydlig i mitt första inlägg. Vad jag menar är att jag ställdes inför frågan om $x^{2^{2^{3}}} = x^{64}$ är rätt eller inte, och jag skrev att det är rätt, vilket jag av facit fick reda på inte är sant. Jag fick inte reda på vad som är det egentliga svaret. Allt jag fick veta är att det inte är sant att $x^{2^{2^{3}}} = x^{64}$ .

Jag deducerade sedan att anledningen till varför det inte är sant är för att det korrekta svaret är, precis som du skriver, $x^{2^{2^{3}}} = {(x^{2})}^{2^{3}} = {(x^{2 \times 2})}^{3} = x^{2 \times 2 \times 3} = x^{12}$ .

Vad jag vill veta med mitt långa och rabblande inlägg är väl egentligen varför man bara kan ta och multiplicera exponenterna med varandra på detta vis? Det är ju ändå exponenter vi har att göra med, och exponenter är ju exponenter för att de fyller en särskild funktion, och jag tänkte att man "egentligen" borde resonera att $x^{2^{2^{3}}} = x^{64}$ är sant, då $2^{2} = 4$ , och $4^{3} = 64$ .

Finns det något matematiskt bevis som är enkelt för en mupp som mig att ta till sig för att förstå varför $x^{2^{2^{3}}} = x^{64}$ är fel?

Tack! :)

Svara

Visa senaste svar