Hjälp med kombinatorik

Vi numrerar personerna:
Pojkar: P1,P2,...P7
Flickor: F1,F2,...F8
Första dansen dansar:
P1-F1, P2-F2...P7-F7
Andra dansen:
P1-F2,P2-F3...P7-F8
Följande danser byter man partner på liknade sätt som ovan.
Vid åttonde dansen har P1 och även alla andra pojkar dansat med alla flickor

7*8=56 danspar

Jursla skrev :

Hej, kan någon hjälpa mig med att lösa följande uppgift.

På en dans fanns 15 pojkar och flickor varav 7 pojkar och 8 flickor, efteråt antecknades antalet danspartners och de femton talen som antecknades var:

Svaren var fem treor, en femma, nio sexor

Visa att minst en person har räknat fel.

Vi antar att ett danspar bara kan bestå av en pojke och en flicka.

 

Jag började med att räkna ihop antalet danspartner 3*5+5+9*6=74

Jag antar att vi ska använda oss av $\frac{n!}{\left(n-k\right)!}$ men jag är osäker på hur man ska gå till väga, ska man sätta in n=15 eller hur ska man göra då man får endast para ihop pojkar och flickor så kan man då ta n=15 eller ska n vara 7 eller 8?

Jag tror du är på fel spår. Du ska inte räkna ut antalet möjliga kombinationer. Vi vet från uppgiften att alla inte har dansat med alla.

Tänk så här i stället: När dansen börjar är antalet danspartner 0 för alla. För varje dans ökar summan av pojkarnas danspartners med 1 och summan av flickornas danspartners med 1. Det betyder att:

summan av pojkarnas danspartners = summan av flickornas danspartners

Eftersom totala antalet partners är 74 blir summan av flickornas = summan av pojkarnas = 74/2 = 37

Men summan av pojkarnas respektive flickornas danspartners kan även skrivas som summan av 7 respektive 8 individers danspartners. Kan du dela upp de 15 talen i uppgiften i två grupper som båda har summan 37? Kan du visa att det är omöjligt!

vad jag kan se är att delar jag in 3orna femman och sexorna i två grupper kan jag aldrig komma till 37 var, närmast är en för lite på ena och en för mycket på den andra, och vi har ju inga ettor att flytta över, därmed är det ju omöjligt att få 37 var.

Byter du plats på en femma och en sexa så ökar du ju med ett på ena sidan och minskar med ett på andra (men jag antar att du inte kan det, isf har du räknat fel :)).

Du har rätt i att det inte kommer gå. Ett sätt att bevisa det är att titta på delbarhet med 3 för summan i respektive grupp.

Kan man dela upp de femton talen i två grupper som båda har summan 37?
Svar: Nej

6  6  6  6  6  6  6  6  6  5  3  3  3  3  3

Börja med att flytta 5:an till en grupp.
Då ska den gruppen fyllas på med 32, och det
går ju inte då 32 inte är jämnt delbart med 3. 

okej då förstår jag, tack för hjälpen