Hjälp med förståelse (linjär algebra)

Jag har en vag aning igen att hela mysterium ligger i att sakerna här är linjära.

$\{\begin{cases} F (e_{1}) = 5 e_{1} + e_{2} \\ F (e_{2}) = e_{2} t a c k o c h l o v . \end{cases}$

$u_{1} = 5 e_{1} + e_{2}$

$u_{2} = F (u_{1}) = F (5 e_{1} + 2 e_{2}) = F (5 e_{1}) + F (2 e_{2}) = 5 F (e_{1}) + 2 F (e_{2}) = 5 (5 e_{1} + e_{2}) + 2 e_{2} = 25 e_{1} + 12 e_{2}$

$u_{3} = F (u_{2}) = F (25 e_{1} + 12 e_{2}) = F (25 e_{1}) + F (12 e_{2}) = 25 F (e_{1}) + 12 F (e_{2}) = 25 (5 e_{1} + e_{2}) + 12 e_{2} = 125 e_{1} + 37 e_{2}$

$u_{4} = F (u_{3}) = F (125 e_{1} + 37 e_{2}) = F (125 e_{1}) + F (37 e_{2}) = 125 F (e_{1}) + 37 F (e_{2}) = 125 (5 e_{1} + e_{2}) + 37 e_{2} = 625 e_{1} + 162 e_{2}$

Är det det som måste göras?

Jag har svårt att se hur jag kan ange en formel för det.. koefficient framför e1 verkar smidigt multipliceras med 5 varje gång, däremot tillväxten av e2 är mycket mer kaotisk.

Kanske är det lättare att skriva det på matrisform. Skriv också 5^2 istället för 25 så blir det lättare att mönster.

Matrisen till F är

A = [5 0;1 1]

A^2 = A*A = [5^2 0;(5+1) 1]

A^3 = A*A^2 = ...

Hej!

I den givna basen representeras den linjära avbildningen $F$ av matrisen

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}5&0\\1&1\end{pmatrix}$ .

Vektorföljden $(u_n)$ kan därför skrivas rekursivt som

$u_{n}=Au_{n-1}$ för $n>1$ ;

när $n=1$ är vektorn $u_{1}=\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}$ .

Det låter dig skriva $u_{2}=Au_{1}$ och $u_{3}=A^2u_{1}$ vilket indikerar att svaret är

$u_{n}=A^{n-1}u_{1}$ .

Albiki

Diagonaliseras matrisen får man en enkel metod med vilken vektorföljden kan beräknas.

$\displaystyle A = PDP^{-1}$

ger matrispotenserna $A^{n-1} = PD^{n-1}P^{-1}$ där diagonalmatrisen

$D^{n-1}=\begin{pmatrix}5^{n-1}&0\\0&1\end{pmatrix}$ .

God morgon!

@Albiki: diagonalisering och eigenvektorer har vi inte gått igenom trotts allt hype och spoilers på Youtube. Jag vet inte om jag hinner sätta mig med det innan provet, för att jag har missat många kurs och jag är sent på typ ALLT :(. Jag ska försöka, nu som jag har hittat bra kurs litteratur.

Dr. G skrev :
Kanske är det lättare att skriva det på matrisform. Skriv också 5^2 istället för 25 så blir det lättare att mönster.
Matrisen till F är
A = [5 0;1 1]
A^2 = A*A = [5^2 0;(5+1) 1]
A^3 = A*A^2 = ...

Ok då, isf har vi:

$A^{3} = (\begin{matrix} 5^{3} & 0 \\ 5 (5 + 1) + 1 & 1 \end{matrix}) A^{4} = (\begin{matrix} 5^{3} & 0 \\ 5^{2} (5 + 1) + 2 & 1 \end{matrix}) A^{5} = (\begin{matrix} 5^{4} & 0 \\ 5^{3} (5 + 1) + 3 & 1 \end{matrix}) . . . .$

Position 1,1 växer med en power 5, position 2,1 växer med en power 5 och flankeras av ett +1, position 1,2 och 2,2 är oförändrat.

Jag är osäker hur jag skriver funktionen. Jag tror att

$A^{n} = 5^{n - 1} e_{1} + (5^{n - 2} (5 + 1) + (n - 2)) e_{2} + e_{2} = 5^{n - 1} e_{1} + ((5^{n - 1} + 5^{n - 2} + (n - 1)) e_{2}$

funkar för störa n, men det ser lite konstigt ut, och dessutom funkar det inte för $A^{1}$ och $A^{2}$ .

Hjäääälp kraxar kråkan.

Jag har försökt gå vidare med:

$e A = (e_{1}, e_{2}) (\begin{matrix} 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) e A^{2} = (e_{1}, e_{2}) (\begin{matrix} 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix}) = (e_{1}, e_{2}) (\begin{matrix} 5^{2} & 0 \\ 5 + 1 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5^{2} \\ 7 \end{matrix}) e A^{3} = (e_{1}, e_{2}) (\begin{matrix} 5^{2} & 0 \\ 5 + 1 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix}) = (e_{1}, e_{2}) (\begin{matrix} 5^{3} & 0 \\ 31 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5^{3} \\ 32 \end{matrix}) e A^{4} = (e_{1}, e_{2}) (\begin{matrix} 5^{3} & 0 \\ 31 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix}) = (e_{1}, e_{2}) (\begin{matrix} 5^{4} & 0 \\ 156 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5^{4} \\ 157 \end{matrix})$

Så vi ser att den första växer utan konstigheter, den andra blir

$2 7 = 2 + 5 32 = 2 + 5 + 5^{2} 157 = 2 + 5 + 5^{2} + 5^{3}$

Så $\sum_{i = 1}^{n - 1} 5^{i} + 2$ ?

Jag har försökt skriva in det i lösningsblad men det verkar inte vara rätt heller.

Svara

Visa senaste svar