Hjälp med bevis för absolutbelopp (Matematik/Matte 4/Bevismetoder)

Vad menar du med att x<0 ger -x<-|x| ? Det viktiga är att x<0 ger x<0<|x|.

Tråd flyttad från Matematik > Bevis till Matematik > Matte 4 > Bevismetoder då detta inte är ett komplett bevis. /moderator

Välkommen till PluggAkuten!

Olikheten är sann om x=0.

Om x inte är lika med noll så är absolutbeloppet |x| ett positivt tal. Du vill visa att kvoten x/|x| är mindre än eller lika med 1.

Om x är positivt tal så är |x| = x och kvoten är lika med 1; olikheten är uppfylld då x är positiv.

Om x är ett negativt tal så är kvoten x/|x| mindre än 0, som i sin tur är mindre än 1; olikheten är uppfylld då x är negativ.

Albiki

Henrik Eriksson skrev :
Vad menar du med att x<0 ger -x<-|x| ? Det viktiga är att x<0 ger x<0<|x|.

Jag tänkte att jag har ju $x$ på båda sidorna i olikheten $x<|x|$ . Så om $x<0$ så ska väl jag ändra på både $x$ och $|x|$ ? Om då vänster sida blir $-x$ och höger sida blir $-x$ så blir olikheten $-x<-x=|x|$ , dvs $-x<|x|$ . Vad tänker jag fel på?

Omas skrev :
Henrik Eriksson skrev :
Vad menar du med att x<0 ger -x<-|x| ? Det viktiga är att x<0 ger x<0<|x|.
Jag tänkte att jag har ju $x$ på båda sidorna i olikheten $x<|x|$ . Så om $x<0$ så ska väl jag ändra på både $x$ och $|x|$ ? Om då vänster sida blir $-x$ och höger sida blir $-x$ så blir olikheten $-x<-x=|x|$ , dvs $-x<|x|$ . Vad tänker jag fel på?

Nej det stämmer inte.

Om x >= 0 så gäller att | x | = x, så då kan du byta ut | x | mot x i din olikhet.

Om x < 0 så gäller att | x | = -x, så då kan du byta ut | x | mot -x i din olikhet.

Inget annat ska bytas ut.

Yngve skrev :
Omas skrev :
Henrik Eriksson skrev :
Vad menar du med att x<0 ger -x<-|x| ? Det viktiga är att x<0 ger x<0<|x|.
Jag tänkte att jag har ju $x$ på båda sidorna i olikheten $x<|x|$ . Så om $x<0$ så ska väl jag ändra på både $x$ och $|x|$ ? Om då vänster sida blir $-x$ och höger sida blir $-x$ så blir olikheten $-x<-x=|x|$ , dvs $-x<|x|$ . Vad tänker jag fel på?
Nej det stämmer inte.
Om x >= 0 så gäller att | x | = x, så då kan du byta ut | x | mot x i din olikhet.
Om x < 0 så gäller att | x | = -x, så då kan du byta ut | x | mot -x i din olikhet.

Inget annat ska bytas ut.

Ah, se där! Tack! Jag vet inte om jag ska skapa en ny tråd för detta men om jag istället skulle haft ett liknande fall, $-|x|<x$ . Här har jag med 2 fall.

$x\geq 0$ : $|x|$ blir $x$ så $-x\leq x$ , dvs $x\geq -|x|$ .

$x<0$ : $|x|$ byts mot $-x$ så $-(-x)<x$ blir $x<x$ ? Men detta blir noll, $0<0$ ?

Vad menar du med "men detta blir noll"?

Henrik Eriksson skrev :
Vad menar du med "men detta blir noll"?

Tänkte om jag har $x<x$ och flyttar alla $x$ till enda sidan så får jag $x-x<0$

Jag tycker att det ofta lönar sig att resonera grafiskt kring olikheter och ekvationer med absolutbelopp.

Om du ritar graferna till y = x (blå graf) och y = -| x | (röd graf) så ser du klart och tydligt att olikheten endast gäller för x > 0.

Yngve skrev :
Jag tycker att det ofta lönar sig att resonera grafiskt kring olikheter och ekvationer med absolutbelopp.
Om du ritar graferna till y = x (blå graf) och y = -| x | (röd graf) så ser du klart och tydligt att olikheten endast gäller för x > 0.

Ah, tackar!
Så för $-|x|<x$ ger fallet $x<0$ mig $-(-x)<x$ , dvs $0<0$ . Så rent algebraiskt kan man tolka $0<0$ som att olikheten inte gäller i detta fall? " $x<0$ är ingen lösning".

Då x < 0 så gäller att | x | = -x.

Det betyder att - | x | = -(-x) = x.

Och att olikheten -| x | < x då skulle lyda x < x, vilket inte stämmer.

Yngve skrev :
Då x < 0 så gäller att | x | = -x.
Det betyder att - | x | = -(-x) = x.
Och att olikheten -| x | < x då skulle lyda x < x, vilket inte stämmer.

Jag är med på själva algebran, men jag hänger inte riktigt med i logiken i beviset.

$-|x|<x$ ska vara sann för alla (reella) $x$ och $y$ .

Det är sant för $x>0$ , men för $x<0$ är det falskt, men ändå är $-|x|<x$ sant för alla $x$ och $y$ .

Så vi har visat ett sant fall och ett falskt fall, ändå blir slutsatsen att olikheten gäller för alla fall. Hur går det ihop?

Vad är det jag har missat i logiken här?

Förut skrev du att du ville visa att $- |x| < x$ . Nu skriver du att du vill visa att $- |x| \leq x$ . Ser du skillnaden?

smaragdalena skrev :
Förut skrev du att du ville visa att $- |x| < x$ . Nu skriver du att du vill visa att $- |x| \leq x$ . Ser du skillnaden?

Jag har uppdaterat mitt inlägg, jag menar när det är sträng olikhet. Men jag får ändå inte ihop beviskedjan. Själva algebran är jag med på, men inte logiken. =/

Hej!

Om du läser mitt tidigare inlägg i denna tråd så kanske du ser att resonemanget där kan tillämpas för att visa olikheten -|x| (strikt mindre än) x.

I och för sig har du inte kommenterat mitt inlägg, så det kanske var helt värdelöst för dig?

Albiki

Omas skrev :

Jag är med på själva algebran, men jag hänger inte riktigt med i logiken i beviset.
-|x|<x-|x|<x ska vara sann för alla (reella) xx och yy.
Det är sant för x>0 x>0 , men för x<0 x<0 är det falskt, men ändå är -|x|<x -|x|<x sant för alla x x och y y .
Så vi har visat ett sant fall och ett falskt fall, ändå blir slutsatsen att olikheten gäller för alla fall. Hur går det ihop?
Vad är det jag har missat i logiken här?

Blanda inte in y. Detta gäller endast x.

Uppgiften i ditt ursprungliga inlägg gällde att bevisa att olilheten x <= | x | gäller (för alla reella x).

Den olikheten gäller och jag hoppas att du har fått hjälp med att bevisa det.

Lite senare bad du om hjälp med ett liknande fall:

Jag vet inte om jag ska skapa en ny tråd för detta men om jag istället skulle haft ett liknande fall,
−|x| < x.

Du har inte skrivit vad uppgiften går ut på och vi har därför tolkat det som att du vill ta reda på om och i så fall för vilka x olikheten gäller.

Uppgiften kan omöjligen vara att visa att den olikheten gäller, för det gör den nämligen inte generellt. Olikheten gäller endast för vissa x, vilket vi har visat.

Du skriver

−|x| < x ska vara sann för alla (reella) x och y.

Vem säger det? Det stämmer nämligen inte, vilket vi har visat.