hjälp med att förenkla kvoten och använda kvottest

Kan du lägga upp en bild av hela uppgiften? Vet man någonting om a_n? Vet man någonting om x?

$a_n= \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{2}}-1)({\displaystyle \frac{1}{2}}-2)...({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}{n!({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}$

står inget om x

Smaragdalena skrev:

Kan du lägga upp en bild av hela uppgiften? Vet man någonting om a_n? Vet man någonting om x?

osäker på om jag får lägga upp hela uppgiften, vill främst ha hjälp med hur jag går tillväga för att förenkla då det kanske anses som fusk om jag skulle lägga upp hela uppgiften och få hjälp med hur jag löser den. 

Då får vi väl tro att x kan vara vilket reellt tal som helst.

Vad blir det om du försöker förenkla a_n+1/a_n?

Vad blir xⁿ⁺¹/xⁿ?

Smaragdalena skrev:

Då får vi väl tro att x kan vara vilket reellt tal som helst.

Vad blir det om du försöker förenkla a_n+1/a_n?

Vad blir xⁿ⁺¹/xⁿ?

det är det jag inte riktigt vet 😅.  kan tänka mig att xⁿ⁺¹/xⁿ = x^n+1-n = x. funkar a_n+1/a_n  på samma sätt?

Det du skriver om x stämmer. Hur påverkas detta av absolutbeloppet?

Du får väl undersöka om du skriver in uttrycken för a_n+1 i täljaren och a_n i nämnaren och ser om det går att förkorta bort något.

Om du behöver mer hjälp, så visa hur långt du har kommit och fråga igen.

Smaragdalena skrev:

Det du skriver om x stämmer. Hur påverkas detta av absolutbeloppet?

Du får väl undersöka om du skriver in uttrycken för a_n+1 i täljaren och a_n i nämnaren och ser om det går att förkorta bort något.

Om du behöver mer hjälp, så visa hur långt du har kommit och fråga igen.

kan |xⁿ⁺¹ /xⁿ| = |x^n+1-n| = xⁿ⁺¹⁺ⁿ = x²ⁿ⁺¹ ? eller är jag ute och cyklar?

och |a_n+1/a_n| på samma sätt så a_2n+1 ?

anki0231 skrev:

Smaragdalena skrev:

Det du skriver om x stämmer. Hur påverkas detta av absolutbeloppet?

Du får väl undersöka om du skriver in uttrycken för a_n+1 i täljaren och a_n i nämnaren och ser om det går att förkorta bort något.

Om du behöver mer hjälp, så visa hur långt du har kommit och fråga igen.

kan |xⁿ⁺¹ /xⁿ| = |x^n+1-n| = xⁿ⁺¹⁺ⁿ = x²ⁿ⁺¹ ? eller är jag ute och cyklar?

Nu är du ute och cyklar. Du skrev rätt förut. Om x är positivt, är då |x| positivt eller negativt? Om x ärnegaitivt, är då |x| positivt eller negativt? 

och |a_n+1/a_n| på samma sätt så a_2n+1 ?

Nej, du har ju skrivit hur an definieras i inlägg #3. Sätt in a_n+1 respektive a_n i kvoten och se om det går att förenkla.

Smaragdalena skrev:

anki0231 skrev:

Visa föregående citat

Smaragdalena skrev:

Det du skriver om x stämmer. Hur påverkas detta av absolutbeloppet?

Du får väl undersöka om du skriver in uttrycken för a_n+1 i täljaren och a_n i nämnaren och ser om det går att förkorta bort något.

Om du behöver mer hjälp, så visa hur långt du har kommit och fråga igen.

kan |xⁿ⁺¹ /xⁿ| = |x^n+1-n| = xⁿ⁺¹⁺ⁿ = x²ⁿ⁺¹ ? eller är jag ute och cyklar?

Nu är du ute och cyklar. Du skrev rätt förut. Om x är positivt, är då |x| positivt eller negativt? Om x ärnegaitivt, är då |x| positivt eller negativt? 

och |a_n+1/a_n| på samma sätt så a_2n+1 ?

Nej, du har ju skrivit hur an definieras i inlägg #3. Sätt in a_n+1 respektive a_n i kvoten och se om det går att förenkla.

Om x är positivt  är |x| positivt. om x är negativt är |x| positivt . så alltid positivt. 

om jag sätter in a_n i a_{n+1  är det $\left(\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{2}}-1)({\displaystyle \frac{1}{2}}-2)...({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}{n!({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}\right)+1$}  ?

så a_n+1/a_n = $\frac{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{2}}-1)({\displaystyle \frac{1}{2}}-2)...({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}{n!({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}}+1}{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{2}}-1)({\displaystyle \frac{1}{2}}-2)...({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}{n!({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}}}$ ?

anki0231 skrev:

om jag sätter in a_n i a_{n+1  är det $\left(\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{2}}-1)({\displaystyle \frac{1}{2}}-2)...({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}{n!({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}\right)+1$}?

så a_n+1/a_n = $\frac{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{2}}-1)({\displaystyle \frac{1}{2}}-2)...({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}{n!({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}}+1}{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{2}}-1)({\displaystyle \frac{1}{2}}-2)...({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}{n!({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}}}$ ?

Nej. Nu har du skrivit (a_n+1)/a_n, det är npgot helt annat. Du skall sätta in n+1 där det står n i formeln, och samtidigt se till att behålla de gamla faktorer som du behöver. Du kommer alltså att ha en ny faktor (½-n+1) i täljarens täljare, och en likadan faktor i täljarens nämnare, samt en faktor n+1 i täljarens nämnare. Sedan kan du förkort bort nästan allting, om jag inte ser fel.

Smaragdalena skrev:

anki0231 skrev:

om jag sätter in a_n i a_{n+1  är det $\left(\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{2}}-1)({\displaystyle \frac{1}{2}}-2)...({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}{n!({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}\right)+1$}?

så a_n+1/a_n = $\frac{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{2}}-1)({\displaystyle \frac{1}{2}}-2)...({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}{n!({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}}+1}{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{2}}-1)({\displaystyle \frac{1}{2}}-2)...({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}{n!({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}}}$ ?

Nej. Nu har du skrivit (a_n+1)/a_n, det är npgot helt annat. Du skall sätta in n+1 där det står n i formeln, och samtidigt se till att behålla de gamla faktorer som du behöver. Du kommer alltså att ha en ny faktor (½-n+1) i täljarens täljare, och en likadan faktor i täljarens nämnare, samt en faktor n+1 i täljarens nämnare. Sedan kan du förkort bort nästan allting, om jag inte ser fel.

alltså a_n+1 = $\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{2}}-1)({\displaystyle \frac{1}{2}}-2)...({\displaystyle \frac{1}{2}}-(n+1\left)\right)}{(n+1)!({\displaystyle \frac{1}{2}}-(n+1\left)\right)}$

då bör väll a_n+1/a_n = $\frac{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{2}}-1)({\displaystyle \frac{1}{2}}-2)...({\displaystyle \frac{1}{2}}-(n+1\left)\right)}{(n+1)!({\displaystyle \frac{1}{2}}-(n+1\left)\right)}}}{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{2}}-1)({\displaystyle \frac{1}{2}}-2)...({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}{n!({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}}}$

Ja. Nu kan du förkorta bort nästan allting, men var försiktig med de "osynliga" faktorerna! (Jag tappade visst bort en parentes i mitt förra inlägg - du har med den.)

Smaragdalena skrev:

Ja. Nu kan du förkorta bort nästan allting, men var försiktig med de "osynliga" faktorerna! (Jag tappade visst bort en parentes i mitt förra inlägg - du har med den.)

vad menar du med de "osynliga" faktorerna? och hur kan jag gå tillväga för at förkorta denna kvot? ska jag multiplicera med inversen till nämnaren?

De osynliga faktorerna är t ex ½-17, ½-18 och ½-19 om n är tillräckligt stor.

Du kan använda dina gamla kunskaper från Ma1 att $\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\frac{d}{c}$.

Smaragdalena skrev:

De osynliga faktorerna är t ex ½-17, ½-18 och ½-19 om n är tillräckligt stor.

Du kan använda dina gamla kunskaper från Ma1 att $\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\frac{d}{c}$.

så $\frac{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{2}}-1)({\displaystyle \frac{1}{2}}-2)...({\displaystyle \frac{1}{2}}-(n+1\left)\right)}{(n+1)!({\displaystyle \frac{1}{2}}-(n+1\left)\right)}}}{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{2}}-1)({\displaystyle \frac{1}{2}}-2)...({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}{n!({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}}}= \frac{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{2}}-1)({\displaystyle \frac{1}{2}}-2)...({\displaystyle \frac{1}{2}}-(n+1\left)\right)}{(n+1)!({\displaystyle \frac{1}{2}}-(n+1\left)\right)}}}{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{2}}-1)({\displaystyle \frac{1}{2}}-2)...({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}{n!({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}}} \times \frac{{\displaystyle \frac{n!({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}{{\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{2}}-1)({\displaystyle \frac{1}{2}}-2)...({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}}}{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{2}}-1)({\displaystyle \frac{1}{2}}-2)...({\displaystyle \frac{1}{2}}-(n+1\left)\right)}{(n+1)!({\displaystyle \frac{1}{2}}-(n+1\left)\right)}}}= \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2)...(\frac{1}{2}-(n+1\left)\right)}}{(n+1)!({\displaystyle \frac{1}{2}}-(n+1\left)\right)}\times \frac{n!({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}{{\displaystyle \frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2)...(\frac{1}{2}-n)}}= \frac{({\displaystyle \frac{1}{2}}-(n+1\left)\right)\times n!({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}{(n+1)!({\displaystyle \frac{1}{2}}-(n+1\left)\right) \times ({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}= \frac{n!}{(n+1)!}$har jag tänkt rätt?

har jag tänkt rätt?

Vet inte, jag förstår inte vad det är du gör. Du verkar i alla fall inte följa tipset du fick, så du måste förklara vad det är du gör.

räknade helt fel. ber om ursäkt. 

$\frac{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{2}}-1)({\displaystyle \frac{1}{2}}-2)...({\displaystyle \frac{1}{2}}-(n+1\left)\right)}{(n+1)!({\displaystyle \frac{1}{2}}-(n+1\left)\right)}}}{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{2}}-1)({\displaystyle \frac{1}{2}}-2)...({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}{n!({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}}}= \frac{\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2)...(\frac{1}{2}-(n+1\left)\right)}}{(n+1)!({\displaystyle \frac{1}{2}}-(n+1\left)\right)}\times {\displaystyle \frac{n!({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}{{\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{2}}-1)({\displaystyle \frac{1}{2}}-2)...({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}}}{\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2)...(\frac{1}{2}-n)}}{n!({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}\times \frac{n!({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}{{\displaystyle \frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2)...(\frac{1}{2}-n)}}}= \frac{\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2)...(\frac{1}{2}-(n+1\left)\right)}}{(n+1)!({\displaystyle \frac{1}{2}}-(n+1\left)\right)}\times \frac{n!({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}{{\displaystyle \frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2)...(\frac{1}{2}-n)}}}{1}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2)...(\frac{1}{2}-(n+1\left)\right)}}{(n+1)!({\displaystyle \frac{1}{2}}-(n+1\left)\right)}\times \frac{n!({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}{{\displaystyle \frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2)...(\frac{1}{2}-n)}}$

implementerade nu $\frac{{\displaystyle \frac{a}{b}}}{{\displaystyle \frac{c}{d}}}= \frac{a}{b}\times \frac{d}{c}$

Det ser bättre ut. Nu kan du börja förkorta. Har du skrivit ut alla nödvändiga "osynliga" faktorer? Vad blir det kvar av ditt jätteuttryck?

borde inte $\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2)....$förkortas bort då den befinner sig i både täljaren samt nämnaren?

Jodå. Frågan är bara vad som blir kvar när man har förkortat bort allt som går att förkorta bort.

jag tänker mig $\frac{n!}{(n+1)!}$ efter att man har multiplicerat båda bråken och sedan dividerat bort det som går. 

Vilka är de tre sista faktorerna av typen ½-k i täljaren respektive nämnaren? Vad blir kvar?

Hur kan du förkorta n!/(n+1)!?

satt o grublade på den och fick hjälp av min vän och vi tror att vi kom fram till en lösning.

Vi antog att i de "okända faktorerna" finns det (1/2 - n) innan (1/2 - (n+1)

samma sak gäller för att (n!) befinner sig inom de okända faktorerna innan (n+1)!

så lösningen bör alltså bli (1/2 n) / (n+1)!

$$\begin{gathered} \frac{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{2}}-1)({\displaystyle \frac{1}{2}}-2)...({\displaystyle \frac{1}{2}}-(n+1\left)\right)}{(n+1)!({\displaystyle \frac{1}{2}}-(n+1\left)\right)}}}{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{2}}-1)({\displaystyle \frac{1}{2}}-2)...({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}{n!({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}}}= \frac{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{2}}-1)({\displaystyle \frac{1}{2}}-2)...({\displaystyle \frac{1}{2}}-(n+1\left)\right)}{(n+1)!({\displaystyle \frac{1}{2}}-(n+1\left)\right)}}\times {\displaystyle \frac{n!({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}{{\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{2}}-1)({\displaystyle \frac{1}{2}}-2)...({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}}}{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{2}}-1)({\displaystyle \frac{1}{2}}-2)...({\displaystyle \frac{1}{2}}-({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}{n!({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}}\times \frac{n!({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}{{\displaystyle \frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2)...(\frac{1}{2}-n)}}}= \frac{\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2)...(\frac{1}{2}-(n+1\left)\right)}}{(n+1)!({\displaystyle \frac{1}{2}}-(n+1\left)\right)}\times \frac{n!({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}{{\displaystyle \frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2)...(\frac{1}{2}-n)}}}{1}= \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2)...(\frac{1}{2}-(n+1\left)\right)}}{(n+1)!({\displaystyle \frac{1}{2}}-(n+1\left)\right)}\times \frac{n!({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}{{\displaystyle \frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2)...(\frac{1}{2}-n)}} = \\ \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2)...(\frac{1}{2}-n)(\frac{1}{2}-(n+1\left)\right)}}{n!(n+1)!({\displaystyle \frac{1}{2}}-(n+1\left)\right)}\times \frac{n!({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}{{\displaystyle \frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2)...(\frac{1}{2}-n)}}= \frac{{\displaystyle 1(\frac{1}{2}-(n+1\left)\right)}}{n!(n+1)!({\displaystyle \frac{1}{2}}-(n+1\left)\right)}\times \frac{n!({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}{{\displaystyle 1}}= \frac{{\displaystyle 1(\frac{1}{2}-(n+1\left)\right)}}{1(n+1)!({\displaystyle \frac{1}{2}}-(n+1\left)\right)}\times \frac{1({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}{{\displaystyle 1}}= \frac{{\displaystyle 1\times 1}}{1(n+1)!\times 1}\times \frac{1({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}{{\displaystyle 1}} =\frac{({\displaystyle \frac{1}{2}}-n)}{(n+1)!} \end{gathered}$$

Det du skriver är förfärligt rörigt (och har så långa rader att man måste scrolla i sidled), så jag orkar inte titta igenom altihop.

Borde inte n!/(n+1)! kunna förkortas till 1/(n+1)?

om n!/(n+1)! = 1 / (n+1) så borde a_n+1xⁿ⁺¹ / a_nxⁿ bli x/n+1. 

därmed är förkortningen x/n+1. 

Nej.anki0231 skrev:

om n!/(n+1)! = 1 / (n+1) så borde a_n+1xⁿ⁺¹ / a_nxⁿ bli x/n+1. 

därmed är förkortningen x/n+1. 

Nej, det borde det inte.

Men om man multiplicerar x med 1/(n+1) så ska det bli x/(n+1)

Javisst, men vad har det med den här uppgiften att göra? Du kan inte bara förkorta bort a_n+1 och a_n.

Man ska finna de x som bidrar med absolutkonvergent . Står att man ska inleda med att förenkla kvoten för att sedan beräkna de sökta x värden