Hjälp med att finna största värde av polynom

Välkommen till Pluggakuten! Har du skrivit av polynomet rätt ($y=7x-16+4x^2$)? Ska det vara det största värdet? Finns det något intervall angivet? Funktionen $f(x)=7x-16+4x^2$ har inget största värde. :)

oops! Nu blandade jag ihop det här. Polynomet är 4x-8-3x^2 

Okej, då förstår jag! Hur har du kvadratkompletterat polynomet? :)

 4x-8-3x^2 =(x+4/6)^2-16/36-8. Kan det stämma?

Nja, inte riktigt. Hur har du kommit fram till det? Kvadrattermen ska bli negativ när du utvecklar kvadraten. :)

Nja, om du utvecklar (x + 4/6)² så kommer du få en term x², inte en term -3x², så någonting måste gått fel. Visa hur du räknar så kan vi kanske hitta var det går fel.

Jag skulle börja med

4x - 8 - 3x² =

-3(x² - 4x/3) - 8 =

-3((x - 2/3)² - 4/9) - 8 = ….

4x-8-3x^2=

I detta steget dividerade jag bort 3an framför x^2 termen... Är det fel?

Så jag fick:4/3*x - 8/3 - x^2

Det är fel. Om delar med 3 så får du ett helt annat uttryck än det du började med. Du blandar ihop det med ekvationslösning tror jag. Om du har en ekvation så kan du dela båda led med 3, men nu har du inte två led som skall vara lika, du har bara ett uttryck, så om du delar med 3 så får du något annat än det du startade med.

Jaha okej. I så fall kommer jag till samma svar som du -3((x - 2/3)2 - 4/9) - 8. Går det att finna något största värde ur det här och hur skulle den fortsättande kvadratkompleteringen se ut?

Börja med att förenkla så att du får det på formen

-3(x - 2/3)² + konstant.

Vad blir konstanten?

så då ska jag multiplicera -3 med 2 och -4/9. Och sedan subtrahera med 8? 

Tänk på att det skall var upphöjt till 2 inte gånger 2. Så vi får

-3(x - 2/3)² + (-3)(-4/9)  - 8 = … 

3(x - 2/3)^2 + (-3)(-4/9)  - 8 =3(x - 2/3)^2+12/9-8=3(x - 2/3)^2+12/9-72/9=3(x - 2/3)^2-60/9

Nästan, du tappade bort minustecknet framför 3:an. Sedan kan vi förenkla -60/9 till -20/3.

Så vi har har fått att uttrycket kan skrivas -3(x - 2/3)² - 20/3.

För vilket x blir uttrycket som störst och vad blir uttryckets värde för detta x?

Notera att bara den första termen, dvs -3(x - 2/3)², beror på x, så du behöver lista ut för vilket x som denna term blir max. Tänk på att om a är ett reellt tal så är kvadraten a² alltid större än eller lika med noll, och noll endast i det fall att a = 0.

Så när x är 2/3 får vi ett minsta värde... 

Och för att få det största måste a- termen vara större än ett?

Om vi bara titta på uttrycket (x - 2/3)² så är det minsta värdet som kan antas 0, och detta händer då x = 2/3. För alla andra värden på x så blir värdet större än noll.

Men nu vill vi hitta det största värdet till -3(x - 2/3)². Kan detta bli större än noll? Kan detta bli noll?

Nej det kan inte bli större än noll, men det kan bli noll!

Så det största värdet på -3(x - 2/3)² är noll, vilket sker då x = 2/3.

Vad blir då det största värdet på -3(x - 2/3)² - 20/3?

Därför måste - 20/3 vara det största värdet för funktionen?

jonte12 skrev:

Därför måste - 20/3 vara det största värdet för funktionen?

Rätt!

tack så mycket för hjälpen, PANTERMERA!!

PATENTERAMERA skrev:

Nja, om du utvecklar (x + 4/6)² så kommer du få en term x², inte en term -3x², så någonting måste gått fel. Visa hur du räknar så kan vi kanske hitta var det går fel.

Jag skulle börja med

4x - 8 - 3x² =

-3(x² - 4x/3) - 8 =

-3((x - 2/3)² - 4/9) - 8 = ….

Förstår inte riktigt hur du gjorde i steget då du gick från -3(x^2 - 4x/3) - 8 till -3((x - 2/3)^2 - 4/9) - 8. Hur kunde 4x/3 bli 2/3?

När vi kvadratkompletterar så vill vi skriva om ett utryck på formen x² + ax till ett utryck på formen (x + b)² + c. 

Låt oss utveckla det andra uttrycket med kvaderingsregeln. (x + b)² + c = x² + b² + 2xb + c. Om detta uttryck skall var det samma som det första uttrycket så måste det gälla att 2b = a (b = a/2) och att c = -b² = -(a/2)². 

Sedan får du tillämpa detta på x² - 4x/3. Här är a = -4/3 så b = -2/3 och c = -(2/3)² = -4/9.

Så om jag exempelvis skulle ha 3x/2, skulle det efter kompletteringen bli 1.5/2?

Är detta verkligen universitetsnivå? 

Isf kan du hitta extrempunkten då $f'(x)=0$ men kvadratkomplettering är bra att förstå.