Hjälp med att bestämma en koordinat.

Martin har ett koordinatsystem med punkterna A (2; 2) och B (5; 8) inritade. Han ska rita en rätvinklig triangel ABC, där sträckan AB är en av de lika långa sidorna och vinkeln A är rät. Bestäm de möjliga koordinaterna för hörnet C.

Jag började med att bestämma ekvationerna för linjen AB:

$A B : k = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{8 - 2}{5 - 2} = 2 y = 2 x + m : 8 = 2 \times 5 + m m = - 2$

Sträckan AB kan räknas ut med avståndsformeln:

$A B = \sqrt{{(5 - 2)}^{2} + {(8 - 2)}^{2}} = \sqrt{45}$

Triangeln är rätvinklig samt likbent alltså är vinklarna B och C 45 grader. Då kan man använda tangens för att räkna ut längden på kateten AC:

$\tan (45) = \frac{A C}{\sqrt{45}} \Leftrightarrow A C = \sqrt{45}$

Då kan vi även räkna ut längden på hypotenusan BC med Pythagoras Sats:

$B C^{2} = {(\sqrt{45})}^{2} + {(\sqrt{45})}^{2} \Leftrightarrow B C^{2} = 90 \Leftrightarrow B C = \sqrt{90}$

Sen har jag kört fast, jag vet inte hur jag ska bestämma ekvationen för linjen AC och inte heller koordinaterna för punkten C. Jag vet om att det finns två olika fall men jag har ingen aning om hur jag ska fortsätta.

Tack på förhand.

Edit: kom på nu hur jag kunde bestämma ekvationen för linjen AC. Linjerna är ju vinkelräta. Alltså gäller:

$2 \times k = - 1 \Leftrightarrow k = - \frac{1}{2} 2 = - \frac{1}{2} \times 2 + m \Leftrightarrow m = 3$

Då kan jag ju kalla punkten C för (x; y) och jag kan ju uttrycka y i x som:

$y = - \frac{1}{2} x + 3$

Och med avståndsformlen kan jag sedan få ekvationen:

$\sqrt{45} = \sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(- \frac{1}{2} x + 3 - 2)}^{2}} \sqrt{45} = \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 2 x}{2} + 1} \sqrt{45} = \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + \frac{x^{2}}{4} - x + 1} \sqrt{45} = \sqrt{\frac{5 x^{2}}{4} - 5 x + 5} 45 = \frac{5 x^{2}}{4} - 5 x + 5 x^{2} - 4 x - 32 = 0 x = \frac{4}{2} \pm \sqrt{4 + 32} x = 2 \pm 6 x_{1} = 8 x_{2} = - 4$

Då kan man sätta in x-värdena i ekvationen för linjen AC så får vi y-värdena också:

$y_{1} = 8 \times \frac{- 1}{2} + 3 = - 1 y_{2} = - 4 \times \frac{- 1}{2} + 3 = 5$

Svar: C är antingen (8; -1) eller (-4, 5)

Har jag gjort rätt?

Du har valt ett lite onödigt svårt sätt att lösa uppgiften. Det här går att lösa "direkt i koordinatsystemet", du behöver inte bestämma linjers ekvationer eller använda avståndsformler.

Knepet är detta: Om du har ett linjesegment som går t.ex. 2 steg åt höger och 3 steg uppåt från en punkt, så kan du vrida detta linjesegment 90 grader genom att bara stuva om steglängderna: Går man istället 3 steg åt höger och 2 steg nedåt har man gjort ett lika långt linjesegment som är vridet 90 grader åt höger, och går man 3 åt vänster och 2 uppåt blir det istället vridet åt vänster 90 grader.

Skaft skrev:
Du har valt ett lite onödigt svårt sätt att lösa uppgiften. Det här går att lösa "direkt i koordinatsystemet", du behöver inte bestämma linjers ekvationer eller använda avståndsformler.
Knepet är detta: Om du har ett linjesegment som går t.ex. 2 steg åt höger och 3 steg uppåt från en punkt, så kan du vrida detta linjesegment 90 grader genom att bara stuva om steglängderna: Går man istället 3 steg åt höger och 2 steg nedåt har man gjort ett lika långt linjesegment som är vridet 90 grader åt höger, och går man 3 åt vänster och 2 uppåt blir det istället vridet åt vänster 90 grader.

Ja det är ju enkelt att lösa det grafiskt men min lärare ville att jag skulle lösa det algebraiskt :/

Aha, jag förstår =) Då verkar det rimligare, och svaret ser bra ut. Längden av AC vet du dock genom att triangeln är likbent; tangens behövs inte.

Börja med att rita: Rita in sträckan AB och fundera på var punkten C kan ligga om 1) längden av AB = längden av AC och 2) vinkeln A är rät.

Eller, eftersom du har räknat ut k, använd dig av att k1*k2=-1 om man har två vinkelräta linjer.

Svara

Visa senaste svar