5 svar
128 visningar
sisi.2121 behöver inte mer hjälp
sisi.2121 77 – Fd. Medlem
Postad: 9 dec 2019 20:06 Redigerad: 9 dec 2019 23:00

Gränvärde

Hej! 

Jag förstår inte det markerade området. Hur har man kommit fram till olikheten och 1/g(x)-1/(b)? Det är bevis av gränsvärde (kvotregeln). 

Trinity2 1847
Postad: 9 dec 2019 21:06

Om g(x)Bg(x)\to B så är g(x)>B/2g(x)>B/2 för stora xx, antingen närmar sig g(x)g(x) BB från ovan och är då helt klart >B>B eller från under och för att g(x)Bg(x)\to B måste g(x)g(x) korsa B/2B/2 förr eller senare. Alltså har vi g(x)>B/2g(x)>B/2.

Det följer då att 1/g(x)<2/B1/g(x)<2/B.

Genom att sätta på gemensamt bråkstreck har vi att 1/g(x)-1/B=(B-g(x))·1Bg(x)=(B-g(x))·B1g(x)<(B-g(x))·B·2B=2(B-g(x))01/g(x)-1/B=(B-g(x))\cdot\frac{1}{Bg(x)}=(B-g(x))\cdot B\frac{1}{g(x)}<(B-g(x))\cdot B\cdot\frac{2}{B}=2(B-g(x))\to0 när g(x)Bg(x)\to B varför 1/g(x)1/B1/g(x)\to 1/B.

sisi.2121 77 – Fd. Medlem
Postad: 9 dec 2019 21:28
Trinity2 skrev:

Om g(x)Bg(x)\to B så är g(x)>B/2g(x)>B/2 för stora xx, antingen närmar sig g(x)g(x) BB från ovan och är då helt klart >B>B eller från under och för att g(x)Bg(x)\to B måste g(x)g(x) korsa B/2B/2 förr eller senare. Alltså har vi g(x)>B/2g(x)>B/2.

Det följer då att 1/g(x)<2/B1/g(x)<2/B.

Genom att sätta på gemensamt bråkstreck har vi att 1/g(x)-1/B=(B-g(x))·1Bg(x)=(B-g(x))·B1g(x)<(B-g(x))·B·2B=2(B-g(x))01/g(x)-1/B=(B-g(x))\cdot\frac{1}{Bg(x)}=(B-g(x))\cdot B\frac{1}{g(x)}<(B-g(x))\cdot B\cdot\frac{2}{B}=2(B-g(x))\to0 när g(x)Bg(x)\to B varför 1/g(x)1/B1/g(x)\to 1/B.

Tack för ditt svar. Men jag förstår inte varför det ska stå 1/g(x)-1/b och inte 1/g(x)-2/B?

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 9 dec 2019 22:35

sisi.2121, det står i Pluggakutens regler (och i rutan där du skriverin din rubrik) att man skall undvika Hjälp! och liknande onödiga uttryck i rubriken. Jag redigerade din rubrik. /moderator

parveln 703 – Fd. Medlem
Postad: 10 dec 2019 07:08
sisi.2121 skrev:
Trinity2 skrev:

Om g(x)Bg(x)\to B så är g(x)>B/2g(x)>B/2 för stora xx, antingen närmar sig g(x)g(x) BB från ovan och är då helt klart >B>B eller från under och för att g(x)Bg(x)\to B måste g(x)g(x) korsa B/2B/2 förr eller senare. Alltså har vi g(x)>B/2g(x)>B/2.

Det följer då att 1/g(x)<2/B1/g(x)<2/B.

Genom att sätta på gemensamt bråkstreck har vi att 1/g(x)-1/B=(B-g(x))·1Bg(x)=(B-g(x))·B1g(x)<(B-g(x))·B·2B=2(B-g(x))01/g(x)-1/B=(B-g(x))\cdot\frac{1}{Bg(x)}=(B-g(x))\cdot B\frac{1}{g(x)}<(B-g(x))\cdot B\cdot\frac{2}{B}=2(B-g(x))\to0 när g(x)Bg(x)\to B varför 1/g(x)1/B1/g(x)\to 1/B.

Tack för ditt svar. Men jag förstår inte varför det ska stå 1/g(x)-1/b och inte 1/g(x)-2/B?

För att undersöka om 1/g(x) går mot 1/B så är det ekvivalent att visa 1/g(x)-1/B går mot 0

PeBo 540
Postad: 10 dec 2019 07:33

Du kanske blandar ihop de två konstateranden man gör och då blir det lite svårt att följa resonemanget: Det första som sägs är att 1/g(x) är begränsad, dvs den har ett ändligt värde. Man gör det genom att säga att om den närmar sig B underifrån så kommer det finnas något x sådant att för alla större x är 1/g(x) mindre än 2/B. Om g(x) närmar sig B uppifrån är det redan klart, för då är är 1/g(x) mindre än 1/B.

Allt detta fram hit handlar bara om att argumentera för att 1/g(x) är begränsad för stora x.

Sen, när man vet att 1/g(x) är begränsad, så kan man (utan att straffas av oändligheter) visa att 1/g(x) kommer godtyckligt nära 1/B -- så i sista steget är det bara trivial algebra på 1/g(x) och 1/B för att visa att skillnaden mellan dem går mot noll. Det ska inte blandas ihop med att man använder B/2 för att säga att när g(x) närmar sig B underifrån så finns något x sådant att g(x) överallt till höger är större än B/2 (eller att 1/g(x) är mindre än 2/B)

Svara
Close