Gränvärde

Om $g(x)\to B$ så är $g(x)>B/2$ för stora $x$, antingen närmar sig $g(x)$ $B$ från ovan och är då helt klart $>B$ eller från under och för att $g(x)\to B$ måste $g(x)$ korsa $B/2$ förr eller senare. Alltså har vi $g(x)>B/2$.

Det följer då att $1/g(x)<2/B$.

Genom att sätta på gemensamt bråkstreck har vi att $1/g(x)-1/B=(B-g(x))\cdot\frac{1}{Bg(x)}=(B-g(x))\cdot B\frac{1}{g(x)}<(B-g(x))\cdot B\cdot\frac{2}{B}=2(B-g(x))\to0$ när $g(x)\to B$ varför $1/g(x)\to 1/B$.

Trinity2 skrev:

Om $g(x)\to B$ så är $g(x)>B/2$ för stora $x$, antingen närmar sig $g(x)$ $B$ från ovan och är då helt klart $>B$ eller från under och för att $g(x)\to B$ måste $g(x)$ korsa $B/2$ förr eller senare. Alltså har vi $g(x)>B/2$.

Det följer då att $1/g(x)<2/B$.

Genom att sätta på gemensamt bråkstreck har vi att $1/g(x)-1/B=(B-g(x))\cdot\frac{1}{Bg(x)}=(B-g(x))\cdot B\frac{1}{g(x)}<(B-g(x))\cdot B\cdot\frac{2}{B}=2(B-g(x))\to0$ när $g(x)\to B$ varför $1/g(x)\to 1/B$.

Tack för ditt svar. Men jag förstår inte varför det ska stå 1/g(x)-1/b och inte 1/g(x)-2/B?

sisi.2121, det står i Pluggakutens regler (och i rutan där du skriverin din rubrik) att man skall undvika Hjälp! och liknande onödiga uttryck i rubriken. Jag redigerade din rubrik. /moderator

sisi.2121 skrev:

Trinity2 skrev:

Om $g(x)\to B$ så är $g(x)>B/2$ för stora $x$, antingen närmar sig $g(x)$ $B$ från ovan och är då helt klart $>B$ eller från under och för att $g(x)\to B$ måste $g(x)$ korsa $B/2$ förr eller senare. Alltså har vi $g(x)>B/2$.

Det följer då att $1/g(x)<2/B$.

Genom att sätta på gemensamt bråkstreck har vi att $1/g(x)-1/B=(B-g(x))\cdot\frac{1}{Bg(x)}=(B-g(x))\cdot B\frac{1}{g(x)}<(B-g(x))\cdot B\cdot\frac{2}{B}=2(B-g(x))\to0$ när $g(x)\to B$ varför $1/g(x)\to 1/B$.

Tack för ditt svar. Men jag förstår inte varför det ska stå 1/g(x)-1/b och inte 1/g(x)-2/B?

För att undersöka om 1/g(x) går mot 1/B så är det ekvivalent att visa 1/g(x)-1/B går mot 0

Du kanske blandar ihop de två konstateranden man gör och då blir det lite svårt att följa resonemanget: Det första som sägs är att 1/g(x) är begränsad, dvs den har ett ändligt värde. Man gör det genom att säga att om den närmar sig B underifrån så kommer det finnas något x sådant att för alla större x är 1/g(x) mindre än 2/B. Om g(x) närmar sig B uppifrån är det redan klart, för då är är 1/g(x) mindre än 1/B.

Allt detta fram hit handlar bara om att argumentera för att 1/g(x) är begränsad för stora x.

Sen, när man vet att 1/g(x) är begränsad, så kan man (utan att straffas av oändligheter) visa att 1/g(x) kommer godtyckligt nära 1/B -- så i sista steget är det bara trivial algebra på 1/g(x) och 1/B för att visa att skillnaden mellan dem går mot noll. Det ska inte blandas ihop med att man använder B/2 för att säga att när g(x) närmar sig B underifrån så finns något x sådant att g(x) överallt till höger är större än B/2 (eller att 1/g(x) är mindre än 2/B)