Geometrisk summa

Du kan skriva om $a^{bx}={\left(a^x\right)}^b$. Gör detta för alla termer. Vilken sorts summa får du?

Så här tänkte jag först men fattar inte hur de får n+1 i slutet eller om de skrivit fel i facit! 

Nästan! Formeln för en geometrisk summa ger att summan $a+ak+a{k}^2+...+a{k}^{n-1}=\frac{a\left(1-k^n\right)}{1-k}$. När du bryter ut $e^x$ får du talföljden $e^x\left(1+e^x+{\left(e^x\right)}^{n-1}\right)$. Vad är ditt a? Vad är k? Om du sätter in detta i summaformeln, hur blir det då?

Förstår inte meningen med att bryta ut e^x, blir a 1 då och k forfarande e^x?

Det jag minst förstår är varför de blir n+1 i slutet ?!

Om du vill kan du hoppa över det steget, och låta vara $a=e^x$, och $k=e^x$. :)

Så om jag struntar i att bryta ut e^x, så blir a = e^x och k=e^x vilket skulle betyda att an= e^x • e^(x(n-1)) ?  Och det skulle medföra Sn = det som är på bilden. Eller ?

Nästan! Summan blir $S_n=\frac{e^x\left(1-e^{nx}\right)}{1-e^x}$. Om du nu multiplicerar ihop täljarens faktorer, är du hemma sedan! :)

Ett sätt att räkna ut summan på är att låta $S=e^x+e^{2x}+...+e^{nx}, x\ne 0$. Multipliceras båda led med kvoten $e^x$fås

$e^x·S=e^x(e^x+e^{2x}+...+e^{nx})=e^{2x}+e^{3x}+...+e^{(n+1)x}$.

Notera att denna nya summa är väldigt lik den ursprungliga. Subtrahera nu den ena från den andra och notera att vi får en kancellering mellan många termer:

$e^x·S-S=(e^{2x}+e^{3x}+...+e^{(n+1)x})-(e^x+e^{2x}+...+e^{nx})=e^{(n+1)x}-e^x.$

Löser vi nu ut $S$från ekvationen ovan fås

$S(e^x-1)=e^{(n+1)x}-e^x \iff S=\frac{e^{(n+1)x}-e^x}{e^x-1}$.

Observera hur viktigt det är att $x\ne 0$för om $x=0$
blir nämnaren i likheten ovan noll och därmed odefinierad!