Hjälp avbildningsmatris och projicering

Hur långt har du kommit? 

Behöver hjälp med att börja, jag förstår inte sambandet  mellan ekvationerna i parantes och dem i resten av frågan...

Bmath skrev:

Behöver hjälp med att börja, jag förstår inte sambandet  mellan ekvationerna i parantes och dem i resten av frågan...

Det är inget samband mellan dem, mer än att det ör två avbildningar som ska göras i rad: gör först en matris A för den första avbildningen, och sedan en matris B för den andra avbildningen, och multiplicera sedan ihop matriserna. 

ok så om jag har tänkt rätt.. menar du alltså att jag ska multiplicera dessa två matriser ?

(1,1,1/0,1,1/1,0,-1)  och (1,1,1/1,0,1/0,0,0)

Bmath, det står i Pluggakutens regler att man bara får ha en tråd om varje fråga. Jag har tagit bort din dubbelpost om den här frågan. /moderator

Det verkar vara ett (tryck)fel i den första matrisen.

Vilket plan ska du sedan projicera på?

yes jag fick tryckfel på min uppgift, fick kolla med läraren. ska posta ett nytt inlägg om detta.

Bestäm matrisen för den linjära avbildning F  i rummet som definieras av att U först avbildas på  (x+y-z, y+z, x-z) och att denna bild sedan projiceras på det plan genom origo som har normal parallell med skärningslinjen mellan x+y+z=1  och x+z=1 .

Bmath, det står i Pluggakutens regler att man bara får ha en tråd om varje fråga. Jag har tagit bort din nya dubbelpost om den här frågan. Om du fortsätter bryta mot Pluggaktuens regler ridåskerar du att bli avstängd. /moderator

Så vad blir matrisen för att avbilda (x,y,z) på (x+y-z, y+z, x-z)?

Kan du skriva skärningslinjen mellan planen på ett enklare sätt? Vilket plan ska du alltså projicera på?

det är just det jag har svårt och förstå.. men om jag har förstått rätt. Om man skriver om det så blir det alltså en matris som ser ut såhär (1,1,1/0,1,0/1,0,-1)?

Med (1,1,1/0,1,0/1,0,-1) antar jag att du menar

$\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& -1\end{array}\right]$

Du vill att

$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$

ska avbildas på

$\left[\begin{array}{c}x+y-z\\ y+z\\ x-z\end{array}\right]$

Stämmer det att

$\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x+y-z\\ y+z\\ x-z\end{array}\right]$

?

Ja precis men märker nu att jag har skrivit fel menade $\left|\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& -1\end{array}\right|\left|\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}x+& y+& z\\ x& & +z\\ & & \end{array}\right|$som även kan skrivas om som$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right|$

Nu förstår jag inte. Kan du visa hur du räknar?

Har inte räknat ut något har skrivit om de givna ekvationerna till matriser. Men det verkar ite vara så man år tillväga ?

Bmath skrev:

Ja precis men märker nu att jag har skrivit fel menade $\left|\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& -1\end{array}\right|\left|\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}x+& y+& z\\ x& & +z\\ & & \end{array}\right|$som även kan skrivas om som$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right|$

Jag förstår ingenting av det här, förutom VL i ekvationen, som är rätt. Vad betyder resten?

resten skrev jag om från dem andra ekvationerna x+y+z=1  och x+z=1 i matris form. Men nu har jag räknat på ett annat sätt och undrar om det är rätt

Om vi först räknar ut vad x+y+z=1  och x+z=1 blir så skriver jag om det som ett ekvationssystem 

$\left\{\begin{array}{l}x+y+z=1\\ x+z=1\end{array}\right.$

sen byter jag ut x mot t 

och får från den andra ekvationen att z=1-t

och den första ekvationen skrivs då som

t+y+(1-t)=1

t+y+1-t=1

då blir y=1-1-t+t då blir Y=0

på det här sätter får vi fram två linjer $\left(0,0,1\right) +t(1,0,-1)$.

Nu $\left|\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& -1\end{array}\right|\left|\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right|*\left|\begin{array}{cc}0& +t\\ 0& +0\\ 1& -t\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}1+& 2t\\ 1-& t\\ -1& +2t\end{array}\right|$

Då får vi $\left(x,y,z\right)=\left(1,1,-1\right)+t\left(2,-1,2\right)$.

Har jag tänkt rätt ? 

Det var en rätt väg att göra som du gjorde med skärningen av  planen

$\left\{\begin{array}{l}x + y + z = 1\\ x + z = 1.\end{array}\right.$

Då fick du fram normalen till planet som du ska projicera den första avbildningen på. Sen blev det fel.

Du ska hitta en avbildningsmatris först avbildar en vektor på (x + y - z, y + z, x - z) sen projicerar denna avbildning på planet som har den normal du räknat ut. Hitta först matrisen för den första avbildningen, strunta i projektionen på planet så länge.

Hur hittar jag matrisen för den första avbildningen ?

Bmath skrev:

Hur hittar jag matrisen för den första avbildningen ?

Du verkar ha hittat den själv i inlägg 14.

Ja men om jag kallar den för A, hur hittar jag B ?

Menar du matrisen för projektionen?

Projicera vektorn (x,y,z) på (1,0,-1). 

EDIT: den matris du får fram får du sedan dra bort från identitetsmatrisen för att få matrisen som projicerar på planet (och inte på normalen).

Ok så du menar att jag inte ens behövde räkna ut normalen utan att jag projicerar vektorn (x,y,z) på (1,0,-1) och sedan drar bort den från enhetsmatrisen och får lösningen på frågan eller? 

Planets normal är ju (1,0,-1)?

Om matris för projektionen på normalen är B och matris för avbildningen av (x,y,z) på (x+y-z,y+z,x-z) är A så blir den sammansatta avbildningens matris

(I - B)A

Ja precis. 

Ok så för att räkna ut projektion på normalen för att få fram matris B, kan jag använda denna formel?

proj(1,0,-1)(x,y,z)=$\frac{(x,y,z)(1,0,-1)}{\left|\right(1,0,-1\left)\right|^2}(1,0,-1)=\frac{x-z}{2}(1,0,-1)$?

Ja, precis!

Kan du sedan skriva det på matrisform?

Om man skriver ut det så blir det då p=(x,y,z)=(x,y,z)-proj(1,0,-1)(x,y,z)=

(x,y,z)-$\frac{x-z}{2}(1,0,-1)=1/2(x+z,2y,x+z)=1/2\left(\begin{array}{c}x+z\\ 2y\\ x+z\end{array}\right)$

vilket blir i matrisform $\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$

så det här blir matris B ? blev det rätt i uträkningen

Bra! 

Då återstår bara matrismultiplikationen. 

Ok härligt! Då återstår bara en fråga..  

matrismultiplikationen ska väl vara (B*A) ? I tidigare inlägg hade du (Dr.G) skrivit att jag ska räkna med enhetsmatrisen? (I-B)*A  stämmer det ?

Du tog fram matrisen för projektion på planet. Vi kan kalla den P. Det är den matrisen du behöver.

Jag tog fram matrisen för projektion på normalen. Vi kan kalla den N.

Jag använde sedan att 

P + N = I

där I är identitetsmatrisen, så P = I - N. 

$\left(\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)-\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)\right)*\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 1/2& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& -1/2& 0\end{array}\right)$ så om jag har förstått rätt blir alltså uträkningen/matrisen till denna uppgift detta?

Du har tagit fram matrisen för projektion på planet, P.

Den sammansatta avbildningens matris är då 

PA

Du har skrivit

(I - P)A

Det var nog jag som förvirrade dig med att projicera på normalen och sedan dra bort matrisen för den avbildningen (N) från identitetsmatrisen (I) för att få matrisen för projektion på planet (P).