Hjälp att tolka kurvor (olikheter)

Hej igen!

Har återigen ett problem som jag skulle vilja ha hjälp med.

Uppgiften är att lösa följande olikhet:

$1 - \frac{32}{3 (x + 2)} \leq - \frac{25}{3 (2 x + 1)}$

Det jag har kommit fram till är att detta är lika med:

$1 - \frac{32}{3 (x + 2)} \leq - \frac{25}{3 (2 x + 1)} = \frac{2 (x - 2)^{2}}{(x + 2) (2 x + 1)} \leq 0$

Sedan ska jag rita följande kurvor (https://www.desmos.com/calculator):

$y_{1} = 1 - \frac{32}{3 (x + 2)} y_{2} = - \frac{25}{3 (2 x + 1)}$

Men hur ser jag att jag faktiskt har räknat rätt?

Tacksam för svar,

Fredrik

Vad har du gjort för att komma fram till det konstiga på mittenraden och varför? Vad är det som är lika med vad?

Börja med att ta reda på för vilka värden på x uttrycket inte är definierat. Multiplicera därefter alla termer med 3(x+2) och 3(2x+1). Förenkla. Lös andragradsekvationen. Kontrollera om svaren uppfyller ursprungsolikheten.

Smaragdalena skrev:
Vad har du gjort för att komma fram till det konstiga på mittenraden och varför? Vad är det som är lika med vad?
Börja med att ta reda på för vilka värden på x uttrycket inte är definierat. Multiplicera därefter alla termer med 3(x+2) och 3(2x+1). Förenkla. Lös andragradsekvationen. Kontrollera om svaren uppfyller ursprungsolikheten.

Ja det konstiga i mitten är förenkligen:

$1 - \frac{32}{3 (x + 2)} \leq - \frac{25}{3 (2 x + 1)} \Rightarrow 1 - \frac{32}{3 (x + 2)} + \frac{25}{3 (2 x + 1)} \leq 0 \Rightarrow \frac{3 (2 x + 1) (x + 2)}{1} - \frac{32 (2 x + 1)}{3 (2 x + 1 (x + 2)} + \frac{25 (x + 2)}{3 (2 x + 1) (x + 2)} \leq 0 \Rightarrow \frac{3 (x + 2) (2 x + 1) - 32 (2 x + 1) + 25 (x + 2)}{3 (x + 2) (2 x + 1)} \leq 0 \Rightarrow \frac{6 x^{2} - 24 x + 24}{3 (x + 2) (2 x + 1)} \leq 0 \Rightarrow \frac{6 (x^{2} - 4 x + 4)}{3 (x + 2) (2 x + 1)} \leq 0 \Rightarrow \frac{3 \times 2 (x^{2} - 4 x + 4)}{3 (x + 2) (2 x + 1)} \leq 0 \Rightarrow \frac{2 (x^{2} - 4 x + 4)}{(x + 2) (2 x + 1)} \leq 0 \Rightarrow \frac{2 (x - 2) (x - 2)}{(x + 2) (2 x + 1)} \leq 0 \Rightarrow \frac{2 (x - 2)^{2}}{(x + 2) (2 x + 1)} \leq 0$

Det jag kan läsa ur förenklingen är följande: $- 2 < x < - \frac{1}{2}$ . Men hur ser jag detta i grafen $y_{1} o c h y_{2}$ ?

Menar du en implikationspil $\Rightarrow$ varje gång du skriver "=" i slutet av varje rad? Skriv det i så fall, annars är allt du har skrivit fel, eftersom det inte är samma sak.

Som sagt: Börja med att ta reda på vilka värden på x som inte är tillåtna, eftersom de skulle orsaka division med 0. Om du inte utesluter dessa x-värden innan du multiplicerar med (x+2) och (2x+1) kan du bevisa precis vad som helst.

Använd gärna lite ord för att förklara vad det är du gör i varje steg - det underlättar för oss som försöker hänga med i dina beräkningar. Nu hänger jag med så långt som till fjärde raden, men sedan vet jag inte varför du skriver om nämnaren som ett polynom. Därefter använder du fyra rader för att förenkla täljaren.

I bråket på raden därefter har du den förenklade täljaren och nämnaren i faktorform. Sedan använder du fem rader för att faktorisera täljaren.

Om ett bråk skall vara mindre än 0 krävs det att täljaren och nämnaren har olika tecken. För vilka värden på x är täljaren positiv respektive negativ? För vilka värden på x är nämnaren positiv respektive negativ? För vilka värden på x har täljaren och nämnaren olika tecken?

Smaragdalena skrev:
Menar du en implikationspil $\Rightarrow$ varje gång du skriver "=" i slutet av varje rad? Skriv det i så fall, annars är allt du har skrivit fel, eftersom det inte är samma sak.
Som sagt: Börja med att ta reda på vilka värden på x som inte är tillåtna, eftersom de skulle orsaka division med 0. Om du inte utesluter dessa x-värden innan du multiplicerar med (x+2) och (2x+1) kan du bevisa precis vad som helst.
Använd gärna lite ord för att förklara vad det är du gör i varje steg - det underlättar för oss som försöker hänga med i dina beräkningar. Nu hänger jag med så långt som till fjärde raden, men sedan vet jag inte varför du skriver om nämnaren som ett polynom. Därefter använder du fyra rader för att förenkla täljaren.
I bråket på raden därefter har du den förenklade täljaren och nämnaren i faktorform. Sedan använder du fem rader för att faktorisera täljaren.

Om ett bråk skall vara mindre än 0 krävs det att täljaren och nämnaren har olika tecken. För vilka värden på x är täljaren positiv respektive negativ? För vilka värden på x är nämnaren positiv respektive negativ? För vilka värden på x har täljaren och nämnaren olika tecken?

Jag uppdaterade föregående inlägg.

Hej!

Jag förslår att du formulerar olikheten såhär istället.

$\displaystyle 0 \leq \frac{32}{3x+6}-\frac{25}{6x+3}-1$ .

Då kan du lösa olikheten enkelt grafiskt genom att rita grafen till funktionen $f(x)=\frac{32}{3x+2}-\frac{25}{6x+3}-1$ och bestämma alla de tal $x$ för vilka grafen ligger över linjen $y=0$ i ett x-y-koordinatsystem.

För att lösa olikheten algebraiskt skriver du funktionen på gemensam nämnare.

$\displaystyle f(x)=\frac{32(6x+3)-25(3x+6)-(3x+6)(6x+3)}{(3x+6)(6x+3)}=-\frac{(x-2)^2}{(x+2)(x+0,5)}$ .

Det gäller alltså att studera olikheten

$\displaystyle -\frac{(x-2)^2}{(x+2)(x+0,5)}\geq 0 \Leftrightarrow \frac{(x-2)^2}{(x+2)(x+0,5)}\leq 0.$

Täljaren är aldrig negativ, så för att kvoten ska vara negativ måste nämnaren vara negativ.

$(x+2)(x+0,5)<>$ .

Markera de två talen $-2$ och $-0,5$ på tallinjen och studera vad som händer med nämnaren när $x$ rör sig kring dessa två tal.

Täljaren är lika med noll precis då $x = 2$ .

Svara

Visa senaste svar