Mönster

Börja med att skriva ner hur många grå trianglar det är som en talföljd: 1, 3, 6, ...
Gör samma sak för de vita trianglarna: 0, 1, 3, ...

Skriv ner följden för de första 6-7 talen i följden. Det är bra att alltid göra så med talföljder för att få en känsla för uppgiften.

vad blir det på figur 6

Rita fig 4 och räkna trianglarna.
Rita fig 5 och räkna trianglarna.
Rita fig 6 och räkna trianglarna.

Skriv upp de två talföljderna med de 6 första talen.

Ska det vara 8 gråa i figur 4 och 5 vita eller

Rita fig 4: Rita av fig 3 och lägg sedan till en ny rad underst.

Bra. Hur många grå respektive vita trianglar?

Gör samma sak för fig 5 och fig 6.

Bra. Nu vet du svaret på a).

Är du med på att du fått fram:

Talföljden för grå trianglar: 1, 3, 6, 10, 15, 21
Talföljden för vita trianglar: 0, 1, 3, 6, 10, 15

Ser du ett mönster? Kan du UTAN ATT RITA förlänga talföljderna?
Om du inte ser något mönster, titta på skillnaden mellan två tal i följden. Ser du mönstret?
Hur många grå trianglar är det i fig 7? I fig 8?
Samma fråga för vita trianglar: hur många är det i fig 7? I fig 8?

Fortsätt att fylla på med tal så att du kan svara på b)

På de vita treanglarna ökar det med 1 , 2 3 4 5 

O samma sak på de gråa ochså 

Men jag vet inte hur man gör ett uttryck 

Du ser nu två saker:
1) Talföljden för vita trianglar är likadan som den för grå men den är förskjuten ett steg. Dvs antalet vita trianglar i fig n+1 är lika många som antalet grå trianglar i fig n.
2) Genom att skriva upp talföljden fram till fig 11 kan du svara på fråga b)

c) Hur ser talföljden ut för antalet trianglar (vita och grå tillsammans)?

Grå i figur 7 blir det 28 o i figur 8 blir det 36 

vita i figur 7 blir det 21 o i figur 8 blir det 28 

Ja. Sammanfattat i en tabell med grå, vita och sammanlagt antal trianglar:
I uppgift c ska du ta fram ett uttryck för antalet trianglar oavsett färg.
Ser du sambandet? Om vi kallar talet på plats n i talföljden för a(n):
n=1 --> a(1)=1
n=2 --> a(2)=4
n=3 --> a(3)=9
n=4 --> a(4)=16

Är detta svar på fråga 1 2 och 3

Fråga a svarade du på själv ovan. Fråga b svarade du NÄSTAN på när du gjorde fig 7 och fig 8 och såg att skillnaden mellan varje figur ökade enligt 1,2,3,4,5 ... och så vidare.

Jag tänkte att du var med på a och b och gick vidare med c. I c ska man ta fram ett uttryck för antalet trianglar oavsett färg.
Jag gjorde en tabell men n (numret på figuren), antalet grå, antalet vita och det totala antalet trianglar.

Jag kanske gick för fort fram så vi tar det från början:

Du har räknat ut att antalet vita trianglar är  1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36 och sen kommer 45, 55.
Och att skillnaden mellan två efterföljande tal är 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 ... och så vidare.

Känns det klart?
Är du med på att tabellen jag la i inlägg #17 visar det i kolumnen "grå"?

Så fråga b är det 55 vita 

Och på fråga c är det n*n

Blir uttrycket så på fråga c a(n) =n*n

Bra!

d) Har du någon ide? Kan du uttrycka antalet i figur n+1 som något med antalet i figur n? Kanske tillsammans med n.
Eller hitta ett annat samband?

Jag fattar faktiskt inte hur jag ska göra fråga d

Det är inte tillåtet att ha flera trådar om samma fråga, eftersom det kan orsaka dubbelarbete och förvirring. Denna tråd har fler svar, och därför låses inte denna tråd, men din andra tråd om samma fråga kommer att låsas. Vänligen läs igenom Pluggakutens regler en gång till. /moderator 

Talföljder kan skrivas på rekursiv form eller sluten form. Rekursiv form betyder att att man skriver a(n) som en funktion av a(n-1).

Om du tittar i tabellen ser du att skillnaden mellan antalet grå trianglar a(n) och a(n-1) är n.
Till exempel så är a(6)=21 och a(5)=15. Dvs a(6)=a(5)+6. Det gällde när n=6.
Hur blir sambandet om du generaliserar det?

Så på fråga  d är att skillnaden mellan antalet grå trianglar a(n) och a(n-1) är n och att uttrycket blir a(n) =a(n-1) +n. 
är det bra förklarad med ord eller behöver man förklara bättre för det står att man ska förklara med ord 

Ja det är svaret på rekursiv form, när man uttrycker a(n) som ett funktion där a(n-1) ingår.
Men de vill ha uttrycket på sluten form så att man inte behöver räkna ut att mellanliggande a(n) för att komma till t ex a(1000).
Sluten form betyder en funktion som INTE beror på föregående värde.

Ser du i tabellen att antalet vita trianglar i figur n är lika många som antalet grå trianglar i figur n-1 ?
Om vi kallar antalet vita för b(n) så betyder det att
b(n)=a(n-1)

Det total antalet trianglar i figur n är a(n)+b(n)
Eftersom b(n)=a(n-1) får vi att det totala antalet = a(n)+a(n-1)
Från c vet vi att det totala antalet är n^2

Då få vi:
a(n)+a(n-1)=n^2
Men vi vet från vår rekursiva skrivning att:
a(n)=a(n-1)+n

Vi har alltså två samband:
a(n)+a(n-1)=n^2     eller a(n-1)=n^2-a(n)
a(n)=a(n-1)+n

Kombinerar vi dem får vi
a(n)=a(n-1)+n
a(n)=n^2-a(n)+n
2a(n)=n^2+n
a(n)=(n^2+n)/2

fattar typ inte  vad jag ska skriva på fråga d ) ska jag bara  skriva det jag skrev innan eller hur ska jag förklara med ord 

Det du skrev nu var det svar på fråga e ochså eller 

d) Jag förstår vad du menar. Man kan uttrycka det så här med ord: "Antalet grå trianglar i figur n är n stycken fler än i figur n-1".

Resten jag skrev handlade om fråga e.

och detta handlade om fråga E

Ja.

Tackk 

a(n)=(n^2+n)/2 är formeln för "summan av de första n naturliga talen"

Det hade man kunna se direkt genom att konstatera att de grå trianglarna i varje lager är 1, 2, 3, 4, 5, ..
Dvs:

a(n )= 1 + 2 + 3+ ... + (n-2) + (n-1) + n
Om vi skriver upp det baklänges:
a(n)=n + n-1 + n-2 + ... 3 + 2 + 1
och sen summerar båda uttrycken:
2a(n)=1+n + 2+(n-1) + 3+(n-2) + ... + (n-2)+3 + (n-1)+2 + n+1 = n(n+1)
2a(n) = n(n+1)
a(n) = n(n+1)/2

Är det svar på fråga E

Det är ett annat sätt att komma fram till svaret på e) som troligen är lite enklare.

 Vad ska det stå på ..... asså 1 +2+3 och sedan ...

Sista raden i inlägg #34 är svaret. Men svaret är inte mycket värt om du inte är med på hur vi kom fram till det.
Om något (eller allt) är oklart, fråga!

Vad skulle det stå där ?

Bilden i inlägg #39 funkar inte (för mig). Men om vi backar lite:

Är du med på att antalet grå trianglar ökar med
1 grå triangel i figur 1
2 grå trianglar i figur 2
3 grå trianglar i figur 3
Och så vidare.

Är du med på det?

Ja 

Det är inlägg 39

Bra. Det betyder att
Figur 1 har 1 grå triangel
Figur 2 har 1+2 grå trianglar
Figur 3 har 1+2+3 grå trianglar
Figur 4 har 1+2+3+4 grå trianglar

Är du med på det?

Då ser du säkert att 
Figur n har 1+2+3+4+ ...  + (n-2) + (n-1) + n grå trianglar
Vad är summan av de n första naturliga talen?

Läs sen den här sidan:
https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/tal/aritmetiska-talfoljder

Används sen formeln:

vad är (a) i uttrycket då? 

Förlåt !! Jag kommer in mitt i diskussionen.Jag håller  på göra samma uppgift.   Jag kollade inte ens regel om man får hoppa i diskussionen. Jag har kris då

måste jag lämna in uppgiften i morgon. Därför söker jag förklaring. Förstår inte verkligen fråga d? Kan ni förklarar lite mer ??