Bevisa summa med induktion

har lyckas lösa basfallet men är osäker på hur jag skall gå tillväga därefter i antagandet och sedan slutsatsen 

Ett bra antagande är att påståendet gäller för något heltal p. Antag att det stämmer, och sätt sedan in p+1. Vilket påstående får du då?

Smutstvätt skrev:

Ett bra antagande är att påståendet gäller för något heltal p. Antag att det stämmer, och sätt sedan in p+1. Vilket påstående får du då?

(p + 1)^3 =( ((p+1)^2(p+2)^2)/4

eller?

Högerledet är korrekt, men hur ser vänsterledet ut? Det är fortfarande en summa. :)

Smutstvätt skrev:

Högerledet är korrekt, men hur ser vänsterledet ut? Det är fortfarande en summa. :)

Antar att det då är sigma från k = 0 till och med p +1 för p^3? men har ingen aning om hur nästa steg i förenklingen skall gå till i sådana fall

För k^3, ja! Om du vet att summan $\sum _{k=0}^{3}k=6$, hur kan du då beräkna summan $\sum _{k=0}^{4}k$? :)

Adderar 4 så svaret blir 10? 

Precis! Summan delas upp så att vi har en summa vi redan vet värdet av, plus något extra element. Kan du göra något liknande för $\sum _{k=1}^{p+1}{k}^3$ ?

Man kanske kan dela upp så man har ∑p k=1 k3 + (p+1) och sedan sätta in något annat induktionsantagandet istället för hela sigma uttrycket? 

Bingo! Du har en summa som du antagit kan skrivas om till $\frac{p^2{(p+1)}^2}{4}$. Därtill har du adderat (p + 1)³. Om du nu kan bevisa att den nya summan är lika med $\frac{{(p+1)}^2{(p+2)}^2}{4}$, så har du bevisat påståendet. :)

Tänker först att man vill få vänsterledet på en gemensam nämnare men har verkligen ingen aning om vad som är effektivast att göra sen. Vill du ge mig en liten ledtråd om jag ska börja böka med höger eller vänsterledet :) 

Gör som du tänkt, liknämnigt, och fortsätt sedan böka med VL. Kan du bryta ut något? 

Tänker du såhär? 

Ungefär, men du har slarvat lite. Dels har du glömt fyran i nämnaren i HL på flera ställen, och sedan försvinner fyran framför (p + 1)^3 när du bryter ut. Fixa det, så blir det rätt! :)

Nu? 

Lite kladdigt, men mycket bättre! Det enda är att du glömt termen du summerar i dina summauttryck på rad ett. Det ska finnas ett k³ efter dina sigman. :) Annars är det korrekt, snyggt!