Hitta volym genom skillnaden på två dubbelintegraler.

Det kanske är enklare för dig om du ser kroppen K geometriskt.

$x²+y²+z²=q$

ger ett sfär med radie $\sqrt{q}$

Detta betyder att om $z>0$ så är det ett halvklot. Nu varierar denna radie mellan radierna 2 och 3. Alltså är det ett halvklot med radien 3 med ett halvklot med radie 2 utsågat. Dessa halvklot beskrivs av respektive dubbelintegral. Jag beskrvier bara en av dem.

Ta den första. Dtta är en dubbelintegral över cirkeln med radie 3 av funktionen f som beskriver halvklotet $f(x,y,z)=\sqrt{9-x²-y²}$ Och blir därmed den eftersökta volymen

Edit: Nu hann visst blomkrukan svara innan jag postade mitt inlägg, men jag låter mitt svar stå kvar för eftervärlden att beundra!

Jag tror du krånglar till det lite i onödan.

Funktionen $f(x,y)=\sqrt{9-x^2-y^2}$ är nivåytan till en sfär med radien 3.

Kanske blir det klarare om du kvadrerar

$f^2=9-x^2-y^2$

$x^2+y^2+f^2=9$

Om du nu låter f=z  känner du förhoppningsvis igen det här som ett klot med radien 3.

$x^2+y^2+z^2=9$

Så allt du gör när integrerar funktionen $f(x,y)$ över en cirkel med radien 3 i xy-planet är att räkna ut volymen av ett halvklot med radien 3. (Halvklot eftersom $z\geq0$)

På samma sätt förhåller det sig med $g(x,y)$. Den integralen blir volymen av ett halvklot med radien två.

Skillnaden blir volymen mellan de två halvkloten.

Du behöver inte ha med det första steget. Det viktiga är att du definierar områdena $D_3$ och $D_2$

Jag kan se volymen framför mig som du beskriv med sfären. Däremot blir jag förvirrad av uttrycket $\sqrt{9-x^2-y^2 }$

För att det ska ju vara $\sqrt{9}-x^2-y^{2 }\to x^2+y^2= 3$för att det ska vara en volym i form av en cirkel. (Nu skrev jag randen men ≤ 3 menar jag)

Inte helt säker på vad du menar men cirkelns ekvation i planet är

$x^2+y^2=R^2$

Så ekvationen för en cirkel med radien $R=3$ är

$x^2+y^2=9$

Fast nu är det inte en cirkel du integrerar utan en sfär. Du får volmymen mellan cirkeln $D_3$ och halvsfären f(x,y)

Ok, jag förstår förklaringen med nivåytan. Måste bara komma ihåg att z= f(x,y)

Tack!