Hitta vågräta asymptoter

Hej. Sitter fast på en uppgift och har inte full koll på hur jag ska göra "rätt" för att få rätt svar.

Uppgift:
Bestäm eventuella extrempunkter och asymptoter till $y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 4}$ .

Det jag gjort än så länge:
$D f : x \neq 2, x \neq - 2$

Alltså har vi asymptoterna x=-2 och x=2

Extrempunkter:
y'(x)=0 ger x=0.

y(0)=1/4

Detta ger extrempunkten (0, 1/4).

Med hjälp av teckentabell får jag att det är en maxpunkt.

Det jag har problem med är hur jag räknar ut asymptoten för y-värdet (ska vara 1 enligt facit)
Jag kan ju självklart ta reda på det genom att sätta in högre respektive lägre och lägre värden för x. Men jag har för mig det ska finnas smidigare sätt att ta reda på det.

Det jag försöker med just nu är att dela upp det i olika termer, men det tar mig till fel svar. (Jag gör något fel)

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x + 2} \times \frac{x - 1}{x - 2}$

Härifrån ser jag inte riktigt hur jag tar mig vidare.

Tacksam för hjälp!
Mvh

I uttrycket (x²-1)/(x²-4) kan du bryta ut x² ur både täljare och nämnare och förkorta. Då blir täljaren 1-1/x² —>1 när x—> oändl. , och på samma sätt i nämnaren.

Skepnad skrev:
[...]

Extrempunkter:
y'(x)=0 ger x=0.

y(0)=1/4

Detta ger extrempunkten (0, 1/4).

Med hjälp av teckentabell får jag att det är en maxpunkt.

Du behöver även skriva att det är en lokal extrempunkt.

Tomten skrev:
I uttrycket (x²-1)/(x²-4) kan du bryta ut x² ur både täljare och nämnare och förkorta. Då blir täljaren 1-1/x² —>1 när x—> oändl. , och på samma sätt i nämnaren.

Ursäkta, men jag ser inte hur du menar. Hur bryter jag ut $x^{2} f r å n (x^{2} - 1) ?$ $(x^{2} - 1) = 1 - \frac{1}{x^{2}} \Leftrightarrow x^{2} (x^{2} - 1) = 0 \Leftrightarrow x^{4} - x^{2} = 0 \Leftrightarrow x^{4} \neq x^{2}$

(Provade sätta uttrycken lika med varandra men det går inte ihop) (Antingen gör jag något jättefel i uträkningen, eller så missförstår jag dig)

Yngve skrev:
Skepnad skrev:
[...]

Extrempunkter:
y'(x)=0 ger x=0.

y(0)=1/4

Detta ger extrempunkten (0, 1/4).

Med hjälp av teckentabell får jag att det är en maxpunkt.

Du behöver även skriva att det är en lokal extrempunkt.

Tack! Ska försöka lägga det på minnet. Jag måste alltså skriva "en lokal extrempunkt" även när det bara finns en enda extrempunkt i ekvationen?

Jag tycker det.

Funktionen saknar global extrempunkt, men om du bara skriver "extrempunkt" eller "maximipunkt" så visar du inte att du inser att det bara är en lokal extrempunkt/lokalt maximivärde.

Yngve skrev:
Jag tycker det.

Funktionen saknar global extrempunkt, men om du bara skriver "extrempunkt" eller "maximipunkt" så visar du inte att du inser att det bara är en lokal extrempunkt/lokalt maximivärde.

Tack! Jag ska ta med mig det!

Tillägg: 14 apr 2024 16:12

Fortfarande helt vilse på hur jag tar mig vidare med uppgiften. Om något har jag blivit mer förvirrad. Jag ser verkligen hur jag bryter ut x^2 ur täljare och nämnare för att kunna förkorta :(

Skepnad skrev:

[...]

Fortfarande helt vilse på hur jag tar mig vidare med uppgiften. Om något har jag blivit mer förvirrad. Jag ser verkligen hur jag bryter ut x^2 ur täljare och nämnare för att kunna förkorta :(

Täljaren kan skrivas $x^2(1-\frac{1}{x^2})$

Nämnaren kan skrivas $x^2(1-\frac{4}{x^2})$

Efter förkortning blir uttrycket $\frac{1-\frac{1}{x^2}}{1-\frac{4}{x^2}}$

Låt nu $x$ gå mot $\pm\infty$ .

Yngve skrev:
Skepnad skrev:

[...]

Fortfarande helt vilse på hur jag tar mig vidare med uppgiften. Om något har jag blivit mer förvirrad. Jag ser verkligen hur jag bryter ut x^2 ur täljare och nämnare för att kunna förkorta :(

Täljaren kan skrivas $x^2(1-\frac{1}{x^2})$

Nämnaren kan skrivas $x^2(1-\frac{4}{x^2})$

Efter förkortning blir uttrycket $\frac{1-\frac{1}{x^2}}{1-\frac{4}{x^2}}$

Låt nu $x$ gå mot $\pm\infty$ .

Tack för tydligheten. Guld värt!

Svara

Visa senaste svar