Hitta tangentriktning till ellips i rummet

Hej!

Skärningen mellan ellipsoiden 

$2x^2+y^2+z^2=4$

och planet

$x-y+2z=2$

utgörs av en ellips i rummet. Bestäm dennas tangentriktning i punkten (1, 1, 1).

Lösning:

Tangentriktningen är vinkelrät mot både planets normal och ellipsoidens normal. Jag vill därför hitta en normal till planet och en normal till ellipsoiden, båda i punkten (1, 1, 1).

Av planets ekvation får jag att $z=\frac{y-x}{2}+1$ och jag kan se att exempel på en vektor som ligger i planet är (1, 1, 1). En annan vektor i planet är (1, 2, 3/2). Dessa två vektorer är uppenbarligen inte parallella och spänner därför upp planet. Normalen till planet är alltså vinkelrät mot båda dessa vektorer och vi får systemet

$\left\{\begin{array}{l}(1, 1, 1)·(x, y, z)=0\\ (1, 2, 3/2)·(x, y, z)=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+y+z=0\\ x+2y+\frac{3}{2}z=0\end{array}\right.$

och vi får att normalen är $(x, x, -2x)$ för något värde på x, så en normal till planet är vektorn $(1, 1, -2)$.

Vi hittar en normal till ellipsoiden genom att låta $f(x, y, z)=2x^2+y^2+z^2$ och räkna ut gradienten $\nabla f$ och vi får att

$\nabla f=\left(4x, 2y, 2z\right)$ och därmed är en normal till ellipsoiden i punkten $(1, 1, 1)$ vektorn $(4, 2, 2)$. 

Nu har vi en normal till planet och en normal till ellipsoiden i punkten $(1, 1, 1)$. Eftersom båda dessa är vinkelräta mot tangentriktningen så får vi systemet

$\left\{\begin{array}{l}(1, 1, -2)·(x, y, z)=0\\ (4, 2, 2)·(x, y, z)=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+y-2z=0\\ 4x+2y+2z=0\end{array}\right.$

vilket ger att tangentriktningen är $\left(x, -\frac{5}{3}x, -\frac{2}{3}x\right)$ för något värde på x, så exempelvis $\left(-1, \frac{5}{3}, \frac{2}{3}\right)$.

Men facit säger att svaret är $\left(-1, 1, 1\right)$. Var gör jag fel?