Hitta supremum och infimum? Antas maximum och minimum?

Hej,

Skulle någon kunna hjälpa mig med följande uppgift?

${\{\frac{\cos n π}{n^{2} + 1}\}}_{n = 1}^{\infty}$

Eftersom talföljden är ej växande eller avtagande jag har testat med att dela upp det i två olika tillfällen.

När n = 2k och n = 2k+1.

Då när n=2k är talföljden avtagande och hittat maximum = 1/5.

Är detta alltså supS = 1/5 och maximum saknas eftersom $\frac{1}{5} ∄ X$ .

Dessutom när n = 2k+1 är talföljden växande och hittat minimum = -1/10.

Samma fråga gäller här också om -1/10 är alltså infS och minimum saknas?

Har lite svårt att förstå skillnaden mellan maximum, minimum, infimum och supremum.

Tack för hjälpen.

Det är en bra idé att titta på udda och jämna n separat. cos(n*pi) är ju antingen -1 eller 1 beroende på om n är udda eller jämnt.

Sen är det väl så att det första talet i serien är det negativa tal som har störst magnitud, alltså Inf, och det andra talet i serien är det positiva tal som har störst magnitud, alltså Sup. Sen avtar ju magnituden eftersom man delar med n*n+1.

Googla lite på inf, sup, min, max. Wikipedia brukar ha jättebra förklaringar. Jag tror min och max är värden som faktiskt ingår, medan inf och sup också inkluderar gränsvärden. 0 är inf för serien 1/n, fast 1/n aldrig tar värdet 0.

https://en.wikipedia.org/wiki/Infimum_and_supremum

Låt X vara en icke-tom delmängd till de reella talen.

Ett reellt tal y är en övre begränsning till X om x $\leq$ y för alla tal x $\in$ X.

Ett tal x $\in$ X är ett maximum om x samtidigt är en övre begränsning till X.

Ett tal y är supremum till X om y är en övre begränsning till X med egenskapen att om w är en övre begränsning till X så gäller det att y $\leq$ w. Dvs y är en minsta övre begränsning till X.

Om x = max(X) så gäller det även att x = sup(X).

Definitionerna av undre begränsning, minimum och infimum är analoga.

Svara