Hitta sluten formel till talföljd

linsun06 skrev:

Hej!

 

Jag skulle behöva hjälp med uppgiften: 

Bestäm en sluten formel för det n:e elementet i talföljden 12, 20, 32, 48, 68, ...

 

Jag har insett att differensen av differensen är konstant och jobbat utifrån det. Men jag får ändå inte rätt svar. 

Facit: a_n=2n²+2n+8

Man kan utgå från att det slutna uttrycket skall vara en andragradsfunktion när man vet att "andradifferensen" är konstant. Man kan då sätta in att n = 1, 2 respektive 3 och få ett ekvationessystem med tre obekanta. Så skulle jag ha gjort. Möjligen skulle jag ha börjat med att a₀ = 12-4 (eftersom motsvarande differens borde vara 8-4 = 4) så konstanten är 8.

Du sätter att

a_n= a₁+(n-1)*d_n

Vad får du för värde då n=2?

Man finner att

a_n = a_{n-1} + 4n

Ansätt p(n)=an^2+bn+c.

p(n)=p(n-1)+4n reduceras till

b + 2 a n = a + 4 n

som skall gälla för alla n varför

a=2 och b=a=2

Alltså är 

p(n)=2n^2+2n+c

12=p(1)=2+2+c 

varför c=8

Hur vet man att det slutna uttrycket ska vara en andragradsfunktion när "andradifferensen" är positiv?

linsun06 skrev:

Hur vet man att det slutna uttrycket ska vara en andragradsfunktion när "andradifferensen" är positiv?

Det 'grundar' sig på att

y''=A

y'=Ax+B

y=Ax^2/2+Bx+C = ax^2+bx+c

Differenser är en slags derivata.

Man kan även ansätta ett 3:e-gradspolynom och får då

b + m + 2 a n + 3 m n^2 = a + (4 + 3 m) n

vilket ger m=0 och man är tillbaka i fallet med 2:a-gradspolynomet.

Så om man gör en jämförelse mellan funktioner och slutna talföljder: 

Differensen i talföljden motsvarar derivatan av funktionen

Andradifferensen i talföljden motsvarar andraderivatan av funktionen 

Stämmer detta även för rekursiva talföljder?

Finns det något sätt man kan tänka så att man kan inse varför det är så eller är det bara att acceptera det?

linsun06 skrev:

Så om man gör en jämförelse mellan funktioner och slutna talföljder: 

Differensen i talföljden motsvarar derivatan av funktionen

Andradifferensen i talföljden motsvarar andraderivatan av funktionen 

 

Stämmer detta även för rekursiva talföljder?

Finns det något sätt man kan tänka så att man kan inse varför det är så eller är det bara att acceptera det?

Saker och ting blir lite mera komplicerat när rekursionen blir mera komplex. Försök tillämpa på Fibonacci.

Det finns en teori för talföljder men jag har ännu ej funnit någon bok hanterar det metodiskt, utförligt och fullständigt (till den grad det nu går).

Talföljder har likt diff.ekv. kar.ekv. som ger "homogena" lösningen, men man får ofta, likt diff.ekv. anta en partikulärlösning för att få den fullständiga formen.

Tack för svar. Vi har inte gått igenom differentialekvationen än så jag kanske förstår bättre när jag lärt mig dem.