Hitta siffertermen för en binominalutveckling

danonduty skrev:

Binomialutvecklingen av uttrycket ${(\sqrt{x}+\frac{3}{x^2})}^{10}$ innehåller en sifferterm. Vilken är termen?

 

Jag såg ett tidigare svar på denna fråga, men fattar inte riktigt hur de gjorde. De talar om att man ska skriva ut den enligt binominalsatsen och sen säga att den ger en sifferterm då resultatet blir $x^0$= 1,  och $\left(\begin{array}{c}10\\ k\end{array}\right)$ försvinner och 3an ersätts med en 1a. Fattar inte.  Se följande länk för den ursprungliga tråden: https://www.pluggakuten.se/trad/bestam-siffertermen-till-binomet/

Börja med en enklare uppgift: Binomialutvecklingen av uttrycket (1+x)³ innehåller en term av typen x². Vilken är koefficienten för denna term?

Det är den tredje termen och har koefficienten 3. Man kan komma fram till detta genom att använda sig av pascals triangel och att skriva ut varje faktor för hand tills man kommer till rätt.

Korrekt.

Första termen i utvecklingen kommer att bestå av 10 stycken $\sqrt{x}$, d v s x⁵, nästa term kommer att bestå av 9 st x^0,5 och en x^-2, så totala exponenten blir 2,5. Den sista termen består av 10 stycken x-2 så det blir x^-20. (Nu har jag för enkelhets skull struntat i alla siffror och tittat endast på exponenten.)

En av termerna i utvecklingen av $\left(\sqrt{x}+\frac{3}{x}\right)$ innehåller inga x, vare sig i täljaren eller nämnaren. När detta händer är x-termen upphöjd till 0. För att få reda på vilken term detta händer för behöver vi ta reda på när x^½k.x^-(10-k)= x⁰, d v s lösa ekvationen k/2-(10-k) = 0.

Kommer du vidare?

Jag fattar vad du menar med det första, och det där med x^0. Men jag fattar inte hur du kommer fram till just den där ekvationen. x^(10-k) antar jag följer binominalsatsen, men hur kommer man fram till x^(k/2)? Varför är det inte bara x^k? 

För att den första termen är roten ur x, inte x.

Okej, fattar det där då. Men om man gör $\frac{k}{2}-(10-k)\hspace{0.17em}= 0$, så får man ju ut att $k\hspace{0.17em}=20/3$. Det kan ju väl inte hända på en sådan term? Vad gör jag fel?

Oj, jag tappade bort tvåan från nämnaren när jag skriev in ekvationen du skulle lösa - den skall vara k/2-2(10-k)=0

Juste, eftersom man tar upp x^2 i bråket och det blir till en x^-2 enligt matematikens lagar. Därmed får man att k = 8, som man sedan lägger in i binominalsatsen och får ut svaret. Tack för hjälpen!