Hitta rötter till p(x)
Hej, jag håller på att gå igenom gamla tentor och försöker att lösa följande uppgift:
Min första tanke var att utföra polynomdivision men då jag inte hittar något uttryck att dela med så har jag fastnat, det vill säga det finns inget heltal x sådan att p(x) = 0. Gör man på ett annat sätt när man ska hitta rötterna i Z3? All hjälp uppskattas, tack på förhand!
Z3 är ju inte så stor. Varför inte prova alla element?
Laguna skrev:Z3 är ju inte så stor. Varför inte prova alla element?
Från detta får jag 6 när jag sätter in ett och 71 när jag sätter in två. Kan jag dela polynomet med z-6 då för att få fram rötterna?
Betyder inte att du skall räkna modulo 3? Då existerar varken 6 eller 71.
6 "finns" inte i !
betyder mängden av alla ekvivalensklasser av tal som är kongruenta med varandra i modulo 3. Det betyder rent konkret att alla heltal kan delas in i 3 grupper:
Tal som är kongruenta med 0 modulo 3
Tal som är kongruenta med 1 modulo 3
Tal som är kongruenta med 2 modulo 3
Alla heltal passar in i någon av de grupperna. När man räknar i brukar man bara använda tre siffror, nämligen 0, 1 och 2. Då betyder 0 alla tal som är kongruenta med 0 modulo 3, 1 alla tal som är kongruenta med 1 modulo 3 och 2 alla tal som är kongruenta med 2 modulo 3.
Så vilken siffra ska man använda i stället för 6?
SvanteR skrev:6 "finns" inte i !
betyder mängden av alla ekvivalensklasser av tal som är kongruenta med varandra i modulo 3. Det betyder rent konkret att alla heltal kan delas in i 3 grupper:
Tal som är kongruenta med 0 modulo 3
Tal som är kongruenta med 1 modulo 3
Tal som är kongruenta med 2 modulo 3
Alla heltal passar in i någon av de grupperna. När man räknar i brukar man bara använda tre siffror, nämligen 0, 1 och 2. Då betyder 0 alla tal som är kongruenta med 0 modulo 3, 1 alla tal som är kongruenta med 1 modulo 3 och 2 alla tal som är kongruenta med 2 modulo 3.
Så vilken siffra ska man använda i stället för 6?
Det enda jag kan tänka på är att 6 modulo 3 är 0? Medan 71 modulo 3 är 2, ska jag räkna med 2 då? Räknar jag med två så får jag resten 3 vilket blir 0 i modulo 3?
6 är inte kongruent med 2 modulo 3.
Smaragdalena skrev:6 är inte kongruent med 2 modulo 3.
Tack, menade såklart att 71 var kongruent med 2 modulo 3.
Om jag dividerar med (x+2) får jag (x4+x-1)(x+2) med resten 3 som är kongruent med 0 modulo 3. Sedan får jag en rot i -2 som är kongruent med 1 modulo 3 och tillsist måste jag även räkna på (x4+x-1)=0, stämmer detta?
Det låter rätt. Vi vill väl hitta rötternas multiplicitet också, så det är därför vi gör så här.
Vi behöver kanske inte hitta en fullständig faktorisering. x4+x-1 har inga nollställen i Z3, men den går att faktorisera i två andragradspolynom om man vill.
Laguna skrev:Det låter rätt. Vi vill väl hitta rötternas multiplicitet också, så det är därför vi gör så här.
Vi behöver kanske inte hitta en fullständig faktorisering. x4+x-1 har inga nollställen i Z3, men den går att faktorisera i två andragradspolynom om man vill.
Tack så mycket för hjälpen! Jag kom nu även att tänka på om jag sätter in 0 i p(x) så får jag svaret 1, ska jag även dividera med x-1 då?
Nej, om p(0) = 1 så är 1 inte ett nollställe, och därmed x-1 inte en faktor.
Laguna skrev:Nej, om p(0) = 1 så är 1 inte ett nollställe, och därmed x-1 inte en faktor.
Menar du att 0 inte är ett nollställe, och att x = 0 inte är en faktor?
Smaragdalena skrev:Laguna skrev:Nej, om p(0) = 1 så är 1 inte ett nollställe, och därmed x-1 inte en faktor.
Menar du att 0 inte är ett nollställe, och att x = 0 inte är en faktor?
Jo det borde de också vara, kan jag även dividera med endast x då? Sen verkar jag även ha missat att jag väl ska dividera med x-2 och inte x+2 om p(x)=2?
Smaragdalena skrev:Laguna skrev:Nej, om p(0) = 1 så är 1 inte ett nollställe, och därmed x-1 inte en faktor.
Menar du att 0 inte är ett nollställe, och att x = 0 inte är en faktor?
Jag menade att vi inte får veta något om x-1, som frågeställaren ville dela med.
Laguna skrev:Smaragdalena skrev:Laguna skrev:Nej, om p(0) = 1 så är 1 inte ett nollställe, och därmed x-1 inte en faktor.
Menar du att 0 inte är ett nollställe, och att x = 0 inte är en faktor?
Jag menade att vi inte får veta något om x-1, som frågeställaren ville dela med.
Jag förstår inte riktigt längre, ska jag dividera med samtliga x, (x-1) och (x-2)? Eller är det x, (x+1) och (x+2) jag ska dividera med? Trodde att jag förstod först men tyvärr inte längre
Jag förstår inte varför du ska göra en polynomdivision öht? Det behövs i alla fall inte för att lösa uppgift a (och de andra har du inte visat)!
Det finns bara tre tal i , och de talen är 0, 1 och 2. Sätt in dem i polynomet. Om resultatet blir 0 har du en rot, om det inte blir 0 har du inte en rot. Sedan vet du svaret!
Det är precis som vanliga polynom, som i gymnasiet. Om p(x) är ett polynom och p(a) = 0 så är x-a en faktor i p(x).
Om p(a) = b och b är skilt från 0 så händer inget intressant om vi delar med vare sig x-a eller x-b. x-a kommer att ge en rest, och vad x-b ger vet vi inget om.
