Hitta rötter till ekvation
Hej! Jag skulle behöva hjälp med uppgiften "Ekvationen z4+6z3+13z2+18z+30=0 har en rot som är rent imaginär (d.v.s. realdelen är 0). Lös ekvationen."
Nedan visas hur jag har gjort. Jag kommer fram till rätt svar i slutändan men har lite frågor.
1. Hur vet man hur långt man ska fortsätta när den liggande stolen används? (Jag har skrivit "hur vet man att detta inte är slutsteget?" i min uträkning)
2. Hur vet man att resten blir noll?
3. Hur vet man att 18-6b2=0 och att 30-13b2+b4=0? Till exempel, hur vet man att det inte ska vara (18-6b2)z som ska bli noll?
Du vet att z = bi och z = -bi är rötter (nollställen) till ekvationen. Om de är nollställen så måste divisionen gå jämnt ut, d v s att resten är 0. Därför skall man hålla på tills man ser att resten är 0.
Eller mer generellt: Du skall hålla på tills resten har lägre grad än vad divisorn har, alltså när det är max ett förstagradspolynom i det här fallet, när man delar med ett andragradsuttryck.
Du har kommit fram till att polynomet p(z) = z4+6z3+13z2+18z+30 = (z2+6z+13-b2)(z2+b2). Du vill lösa ekvationen p(z) = 0 men du kan använda dig av nollproduktmetoden och lösa de båda andragradsekvationerna istället - om produkten av de båda parenteserna skall vara 0 så måste ju antingen den första eller den andra parentesen ha värdet 0.
